概率论中几个入门公式

临时整理一下，以后会慢慢补

独立

独立：对于事件$A$和$B$，如果$P(AB)$=$P(A)P(B)$，那么称$A$和$B$是独立的。

所谓独立，即两事件的结果不会相互影响。从样本点的⻆度来考虑，即两者不包含相同的样本点。

条件概率

条件概率：

如果$P(B)>0$，那么$A$在$B$下的条件概率为 $$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$

可以这么理解：在$B$时间发生后事件$A$发生的概率，实际等于事件$B$发生后$AB$同时发生的概率

全概率公式

如果样本空间可以被划分为两两互斥的若干部分$A_1,\ldots,A_k$，那么 $$P(B)=\sum_{i=1}^{k}P(B\mid A_i)P(A_i)$$

这个公式可以用来处理$P(B)$不好直接计算的情况

贝叶斯公式

对于事件$A$和$B$，如果$P(A)>0$且$P(B)>0$，那么

$$P(A|B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$

通常我们会有样本空间的一个划分$A_1,\ldots,A_k$，结合全概率公式，对于任意$1\leq i\leq k$有

$$P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)P(A_j)} $$

上面的公式实际是将条件概率公式移项之后变形

下面的公式是将原公式的分母用全概率公式展开