矩阵分析（十四）矩阵的广义逆

矩阵的广义逆

若A\in \mathbb{C}^{n\times n}，且A为可逆矩阵，则有

1. AA^{-1}A=A
2. A^{-1}AA^{-1}=A^{-1}
3. (AA^{-1})^H=AA^{-1}
4. (A^{-1}A)^H=A^{-1}A

若A\in \mathbb{C}^{m\times n}, X\in \mathbb{C}^{m\times m}，以下矩阵方程称为Penrose方程

1. AXA=A
2. XAX=X
3. (AX)^H=AX
4. (XA)^H=XA

满足Penrose方程中一个或多个的X\in \mathbb{C}^{n\times m}称为A的一种广义逆矩阵。最广泛的广义逆矩阵有以下两个

• 仅满足条件1的广义逆矩阵称为减号逆，记为A^{-}
• 满足条件1,2,3,4的广义逆矩阵称为加号逆，记为A^+

矩阵的减号逆

（减号逆存在性定理）A\in \mathbb{C}^{m\times n}，矩阵方程AXA=A恒有解，并且称X是A的一个减号逆

证明：设rank(A)=r≤min(m,n)，存在可逆矩阵P,Q使得

取X = Q^{-1}\begin{bmatrix}E_r&B_{r\times (n-r)}\\C_{(m-r)\times r}&D_{(m-r)\times (n-r)}\end{bmatrix}P^{-1}B,C,D为任意的满足分块要求的矩阵，则

$$ \begin{aligned} AX A &= P\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}QQ^{-1}\begin{bmatrix}E_r&B\\C&D\end{bmatrix}P^{-1}P\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\\ &=P\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\\ &=A \end{aligned} $$

很明显，减号逆是不唯一的

$A^{-}$的求法

对rank(A)=r的矩阵A，做增广矩阵\begin{bmatrix}A & E_m\\ E_n & 0 \end{bmatrix}A化为最简形，得到\left[\begin{array}{rr|rr} E_r& 0 & P \\ 0 & 0 & \\ \hline \\ Q & & 0 &\end{array}\right]X = Q\begin{bmatrix}E_r&B\\C&D\end{bmatrix}PB,C,D是满足固定阶次的任意矩阵

例1

求矩阵A= \begin{bmatrix}0&-1&3&0\\2&-4&1&5\\-4&5&7&-10\end{bmatrix}

解：

$$ \begin{aligned} \left[\begin{array}{c|c} A & E_{m} \\ \hline E_{n} & 0 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rrrr|rrr} 0 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 5 & 7 & -10 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & & \\ 0 & 1 & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \end{array}\right]\\ &\to \left[\begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1 \\ \hline 1 & 0 & \frac{11}{2} & -\frac{5}{2} & & \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 1 & 0 & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & \end{array}\right] \end{aligned} $$

于是

$$ {P}=\left[\begin{array}{ccc} -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{array}\right], \quad {Q}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{11}{2} & -\frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

所以

其中B\in \mathbb{C}^{2\times 1}, C\in \mathbb{C}^{2\times 2},D\in \mathbb{C}^{2\times 1}

例2

求矩阵A=\begin{bmatrix}2\mathrm{i}&\mathrm{i}&0\\0&0&-3\\2&1&1\end{bmatrix}

解：

$$ \begin{aligned} \left[\begin{array}{c|c} A & E_{m} \\ \hline E_{n} & 0 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rrr|rrr} 2\mathrm{i} & \mathrm{i} & 0&1&0&0 \\ 0&0&-3&0&1&0 \\ 2&1&1 &0&0&1\\ \hline 1 & 0 & 0 & & \\ 0 & 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\\ &\to \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0&1&0&0 \\ 0&1&0&0&1&0 \\ 0&0&0 &\mathrm{i}&\frac{1}{3}&1\\ \hline -\frac{1}{2}\mathrm{i} & 0&-\frac{1}{2} & & \\ 0 & 0 & 1 & & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 \end{array}\right] \end{aligned} $$

于是

$$ {P}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \mathrm{i}&\frac{1}{3}&1 \end{array}\right], \quad {Q}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\mathrm{i} & 0&-\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 \end{bmatrix} $$

所以

其中B\in \mathbb{C}^{2\times 1}, C\in \mathbb{C}^{2\times 2},D\in \mathbb{C}^{2\times 1}

非齐次线性方程组的相容性

（定理）A\in \mathbb{C}^{n\times n},Ax=b有解\Leftrightarrow b=AA^-b

非齐次线性方程组解的结构

（定理）A\in \mathbb{C}^{m\times n}，若Ax=b有解，则通解为

其中t\in \mathbb{C}^{n}。若相容，则上式为通解；若不相容，则上式为最小二乘的通解

矩阵的左逆、右逆

设A \in \mathbb{C}^{m \times n}, B \in \mathbb{C}^{n \times m}，若有BA=E_n，则称B是A的一个左逆，记为A_L^{-1}

等价条件：

• A的零空间N(A)={0}
• m \geqslant n, \; rank(A)= n，即A是列满秩的
• A^H A可逆

设A \in \mathbb{C}^{m \times n}, C \in \mathbb{C}^{n \times m}，有AC = E_m，则称C是A的一个右逆，记为A_R^{-1}

等价条件：

• A的列空间R(A)=C^m
• m \leqslant n, \; rank(A)=m，即A是行满秩的
• AA^H可逆

矩阵的加号逆

定义：对于矩阵A \in \mathbb{C}^{m \times n}，A=BC是A的一个满秩分解，则

是A的加号逆，且加号逆唯一

性质：

• rank(A) = rank(A^+)
• rank(A^+A) = rank(AA^+)=rank(A)

$A^+$的求法

实际上加号逆的定义就是一个求法，另外还可以通过SVD分解进行求解：

对矩阵A进行奇异值分解，得到A = U \begin{bmatrix}\Delta &0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}V^H\color{red}{A^+ = V \begin{bmatrix}\Delta^{-1} & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}U^H}

例2

分别求矩阵A=\left[\begin{array}{lllll}1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right],B = \begin{bmatrix}0&1&0&1\\0&1&0&1\\2&0&1&1\end{bmatrix}

解：

对矩阵A只作初等行变换

$$ A=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]\to ···\to \begin{bmatrix}1&0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&1&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix} $$

故可将A进行满秩分解为A=CD，且

则

对矩阵B只作初等行变换

故可将B进行满秩分解为B=EF，且

则