平面几何题解：C 在 AB 的垂线的哪一侧

大家好，我是前端西瓜哥。

工作中遇到的一个平面几何问题，记录一下。

问题

已知点 A、B、C 的坐标，以 B 为垂足绘制 AB 的垂线将二维平面分成两个区域，问 C 是否在 A 所在的区域。

整了半天，发现解法很简单。

问题等价于判断向量 BA 和 BC 的夹角是否小于 90 度。

这个就很容易联想到 向量的点积公式。

变形为：

cos 为两个向量的夹角，夹角的范围为 0 到 180 度。

从图可知（只看 0 到 180 的区间），cos 如果为正数，说明夹角在 0 到 90 度范围；如果是负数，夹角在 90 到 180 度范围。

向量 a 和向量 b 的模都是正数，不影响正负，所以 cos 的正负符号只和 ab 向量的点积的正负有关。

所以，我们得到：两向量点积为正数，说明它们夹角小于 90 度；如果为负数，说明它们夹角大于 90 度。

算法实现

const isSideOfLineCloseA = (a, b, c) => {
  const ba = { x: a.x - b.x, y: a.y - b.y };
  const bc = { x: c.x - b.x, y: c.y - b.y };
  return dotProduct(ba, bc) > 0;
};

const dotProduct = (a, b) => {
  return a.x * b.x + a.y * b.y;
};

线上 demo

我还写了个可互动 demo：

https://codesandbox.io/s/gtnhnr

（以为会很复杂，专门写来测试的...）

结尾

点积的特性在计算机图形学使用的地方相当多。

除了判断向量夹角小于还是小于 90 度，还很很多的其他的场景。

比如直接计算两向量的夹角，或是计算投影长度，可用于分离轴定理判断两个凸多边形是否碰撞。

我是前端西瓜哥，欢迎关注我，学习更多解析几何知识。