数据结构——堆的应用堆排序详解

大耳朵土土垚

发布于 2024-03-13 18:49:41

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发布于 2024-03-13 18:49:41

文章被收录于专栏：c/c++c/c++

在土土的上篇博客二叉树堆的介绍与实现中，我们发现测试代码是升序；今天我们就来分析堆的重要应用——**堆排序**🎉🎉。升序实现如下：

#include"Heap.h"
int main()
{
	Heap hp;
	HeapInit(&hp);
	int a[] = { 65,100,70,32,50,60 };
	for (int i = 0; i < 6; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	while (!HeapEmpty(&hp))
	{
		int top = HeapTop(&hp);
		printf("%d\n", top);
		HeapPop(&hp);
	}
    HeapDestroy(&hp);
	return 0;
}

详情可在土土的博客数据结构——lesson7二叉树堆的介绍与实现中查看🥳🥳

一、堆排序（基础版）

既然是堆排序，那我们首先肯定得有一个堆，这里土土就可以偷个懒将上篇博客中实现的堆代码copy一下🥰🥰

堆的实现

#include"Heap.h"
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = NULL;
	hp->capacity = 0;
	hp->size = 0;
}
// 堆的销毁
void HeapDestroy(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	free(hp->a);
	hp->a = NULL;
	hp->capacity = 0;
	hp->size = 0;
}
//交换函数
void Swap(HPDataType* a,HPDataType* b)
{
	HPDataType tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}

//堆向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n,int parent)
{
	//找到较小的孩子节点
	int child = parent * 2 + 1;
	
	//向下调整
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
		}
		else
			break;
		
	}
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a,int child)
{
	//找到双亲节点
	int parent = (child - 1) / 2;
	//向上调整
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			break;
		
	}
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
	assert(hp);
	//判断容量
	if (hp->size == hp->capacity)//容量满了扩容
	{
		int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 0 : 2 * hp->capacity;
		HPDataType* new = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if (new == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		hp->a = new;
		hp->capacity = newcapacity;
	}
	//尾插
	hp->a[hp->size] = x;
	hp->size++;
	//向上调整算法
	AdjustUp(hp->a,hp->size-1);
}
// 堆的删除，删除堆顶元素
void HeapPop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
	Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
	hp->size--;
	//向下调整算法
	AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);

}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
	return hp->a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size;

}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}

当然在使用这些函数时要记得先声明一下，这里我们都放到一个头文件Heap.h中

Heap.h

#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
typedef int HPDataType;
//构建一个结构体封装堆
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;//数组顺序表
	int size;//堆元素个数
	int capacity;//数组空间
}Heap;
//以下是实现堆的函数
// 堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestroy(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

使用时只需包含该头文件即可 #include"Heap.h"

堆排序

给定一个数组a[ ] = {7,8,3,5,1,9,5,4},我们需要利用上面的堆来将它进行排序
🤩🤩思路： ①我们首先需要将数组中的元素插入堆中（利用HeapPush函数）， 💫前面我们已经学习过堆插入函数，它里面利用堆向上调整算法会自动将插入的数据调整为一个堆（我们实现的是小堆）； ②然后我们需要获取堆顶元素（也就是小堆中最小的元素），利用HeapTop函数即可； ③获取最小元素后我们就需要获取次小元素，先利用堆的删除函数（HeapPop函数)，将堆顶元素（也就是小堆中最小的元素）删除； 💞删除函数中堆向下调整算法又会将剩余元素调整为小堆，此时堆顶元素就是删除一个元素后最小的元素； ④将删除后的元素重新拷贝回数组a中； ⑤循环②③两步直到全部排序成功。

代码实现如下：

 #include"Heap.h"
void HeapSort(int* a,int size)
{
	Heap hp;
	HeapInit(&hp);
	//将a中元素插入堆中
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	//获取堆顶（最小）元素并删除
	int i = 0;
	while (i < size)
	{
		a[i++] = HeapTop(&hp);
		HeapPop(&hp);
	}
	HeapDestroy(&hp);
}
int main()
{
	int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };
	int size = sizeof(a) / sizeof(int);
	HeapSort(a,size);
	return 0;
}

🥳🥳结果如下：排序前：

排序后：

💥💥上述堆排序的实现尽管能够实现排序，但是…我们发现如果没有提前实现堆或者准备好堆的代码，我们是没办法实现的，而且我们需要来回拷贝数据，空间复杂度较大。 🥰🥰这里就需要介绍下面简便版堆排序啦~

二、堆排序（简便版）

在土土的数据结构学习笔记数据结构——lesson7二叉树堆的介绍与实现中，详细介绍了堆向上调整算法与堆向下调整算法，接下来我们就可以利用这两个函数来实现堆以及堆的排序🥳🥳

（1）利用堆向上或向下调整算法实现堆

堆向上调整算法实现

//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* a,int child)
{
	//找到双亲节点
	int parent = (child - 1) / 2;
	//向上调整
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			break;
		
	}
}

数组a[ ] = {7,8,3,5,1,9,5,4}，我们可以看成一个二叉树：

只需要从第二个数8开始每次读取一个数据都向上调整为堆，那么读完整个数组就可以得到一个堆啦~🥰🥰

//从第二个数据开始向上调整建堆
for (int i = 1; i < size; i++)
{
	AdjustUp(a, i);
}

🤩🤩之前基础版排序是又开辟了一个空间来存放a中的数据，排成堆后又每次选取最小的元素拷贝回a中，不仅麻烦而且会增加空间的使用；所以简便版排序便直接将a看成一个二叉树利用向上调整算法直接成堆，不需要开辟额外的空间。

堆向下调整算法实现

🥰🥰类似于向上调整算法的实现，所不同的是开始调整的位置不再从第二个数开始，而是从最后一个非叶子节点开始向下调整：

调整完了再依次往前找到前一个非叶子节点（下标是元素个数size-2再除2）重复向下调整即可； 🥳🥳使用向下调整的时间复杂度较向上调整小，所以我们这里选择用向下调整

代码如下：

//堆向下调整算法
for (int i = (size-2 )/ 2 ; i >= 0; i--)
{
	AdjustDown(a, size, i);
}

结果如下：

可以发现已经将其调整为一个小堆了🥳🥳

（2）利用堆向下调整算法排序

那我们应该怎么将堆中的元素排序呢？ 🥳🥳这就要利用堆向下调整算法了

思路🥳🥳

①交换首尾元素，将堆中最小的元素（首元素）换到尾部； ②将交换后的尾部元素忽略，剩余元素利用堆向下调整算法（除头外左右子树都是堆）调整为堆；

③重复②直到全部排完，得到降序数组：

代码如下：

//排序
int end = size-1;//堆底元素下标
while (end)
{
	Swap(&a[0], &a[end]);
	AdjustDown(a, end, 0);
	end--;
}

🤩🤩Swap函数在这里：

//交换函数
void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
{
	HPDataType tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}

（3）完整实现🥳🥳

void HeapSort(int* a,int size)
{
	//堆向下调整算法
	 for (int i = (size-1 )/ 2 ; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, size, i);
	}
	
	//排序
	int end = size-1;//堆底元素下标
	while (end)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}

}
int main()
{
	int a[] = { 7,8,3,5,1,9,5,4 };
	HeapSort(a, 8);

	return 0;
}

结果如下：