Spark-ALS 分布式实现详解

如今，协同过滤推荐(CollaboratIve Filtering)技术已广泛应用于各类推荐系统中，其通常分为两类，一种是基于用户的协同过滤算法(User-Based CF)，它是根据用户对物品的历史评价数据，如喜欢、点击、购买等，计算不同用户之间的相似度，在有相同喜好的用户间进行物品推荐，例如将跟我有相同电影爱好的人看过的电影推荐给我。

另一种是基于物品的协同过滤算法(Item-Based CF)，它是根据用户对物品的历史评价数据，计算物品之间的相似度，用户如果喜欢A物品，那么可以给用户推荐跟A物品相似的其他物品，例如如果我们在购物网站上买过尿片，第二天你再到购物网站上浏览时，可能会被推荐奶瓶。更多关于User-Based CF和Item-Based CF的阐述请参考《推荐算法协同过滤》文章。然而，在用户评分不足的情况下，上述两种方法就不是很好使了，近年来，基于模型的推荐算法ALS(交替最小二乘)在Netflix成功应用并取得显著效果提升，ALS使用机器学习算法建立用户和物品间的相互作用模型，进而去预测新项。

基本原理

用户对物品的打分行为可以表示成一个打分矩阵

[1500349872660_9322_1500349872762.png]

，例如下表所示：

[1500349895395_867_1500349895443.png]

矩阵中的打分值

表示用户对物品的打分，其中"?"表示用户没有打分，这也就是要通过机器学习的方法去预测这个打分值，从而达到推荐的目的。

模型抽象

按照User-Based CF的思想，

的行向量对应每个用户，按照Item-Based CF的思想，的列向量对应每个物品。ALS 的核心思想是，将用户和物品都投影到维空间，也就是说，假设有个隐含特征，至于个隐含特征具体指什么不用关心，将每个用户和物品都用维向量来表示，把它们之间的内积近似为打分值，这样就可以得到如下近似关系：

[1500350337188_8866_1500350337199.png]

其中，

为打分矩阵，个用户，个物品，为用户对隐含特征的偏好矩阵，为物品对隐含特征的偏好矩阵。

上述模型的参数就是矩阵

和，即求解出和我们就可以重现打分矩阵，填补原始打分矩阵中的缺失值"?"。

显示反馈代价函数

要求解上述模型中的

和 ，那么就需要一个代价函数来衡量参数的拟合程度，如果有比较明确的显式反馈打分数据，那么可以比较重构出来的打分矩阵与实际打分矩阵，即得到重构误差，由于实际打分矩阵有很多缺失值，所以仅计算已知打分的重构误差，下面函数为显示反馈代价函数。

[1500350617965_1900_1500350618009.png]

其中，

表示用户对物品的打分，为矩阵的第行 ， 为矩阵的第列，为正则项系数。

隐式反馈代价函数

很多情况下，用户并没有明确反馈对物品的偏好，需要通过用户的相关行为来推测其对物品的偏好，例如，在视频推荐问题中，可能由于用户就懒得对其所看的视频进行反馈，通常是收集一些用户的行为数据，得到其对视频的偏好，例如观看时长等。通过这种方式得到的偏好值称之为隐式反馈值，即矩阵

为隐式反馈矩阵，引入变量表示用户对物品的置信度，如果隐式反馈值大于0，置信度为1，否则置信度为0。

[1500350921671_50_1500350921689.png]

但是隐式反馈值为0并不能说明用户就完全不喜欢，用户对一个物品没有得到一个正的偏好可能源于多方面的原因，例如，用户可能不知道该物品的存在，另外，用户购买一个物品也并不一定是用户喜欢它，所以需要一个信任等级来显示用户偏爱某个物品，一般情况下，越大，越能暗示用户喜欢某个物品，因此，引入变量

，来衡量的信任度，其中为置信系数。

[1500350982953_9485_1500350982985.png]

那么，代价函数则变成如下形式：

[1500350996008_5172_1500350996037.png]

算法

无论是显示反馈代价函数还是隐式反馈代价函数，它们都不是凸的，变量互相耦合在一起，常规的梯度下降法可不好使了。但是如果先固定

求解，再固定求解 ，如此迭代下去，问题就可以得到解决了。

[1500351068209_3929_1500351068233.png]

那么固定一个变量求解另一个变量如何实现呢，梯度下降？虽然可以用梯度下降，但是需要迭代，计算起来相对较慢，试想想，固定

求解，或者固定求解 ，其实是一个最小二乘问题，由于一般隐含特征个数取值不会特别大，可以将最小二乘转化为正规方程一次性求解，而不用像梯度下降一样需要迭代。如此交替地解最小二乘问题，所以得名交替最小二乘法ALS，下面是基于显示反馈和隐式反馈的最小二乘正规方程。

显示反馈

固定

[1500351168147_1476_1500351168162.png]

求解

[1500351175289_9187_1500351175311.png]

[1500360037298_373_1500360037363.png]

更直观一点，每个用户向量的求解公式如下：

[1500360050716_6730_1500360050702.png]

其中，

为矩阵的第行的转置，为矩阵的第行的转置。

固定

求解

[1500360203602_6384_1500360203588.png]

更直观一点，每个物品向量的求解公式如下：

[1500360228005_1516_1500360228020.png]

其中，

为矩阵的第列，为矩阵的第列。

隐式反馈

固定

求解

[1500360390991_2588_1500360390971.png]

更直观一点，每个用户向量的求解公式如下：

[1500360412470_7166_1500360412449.png]

其中，

为对角矩阵。

固定

求解

[1500360502178_6543_1500360502261.png]

更直观一点，每个物品向量的求解公式如下：

[1500360514610_8372_1500360514590.png]

其中，

为对角矩阵。

Spark 分布式实现

上述ALS算法虽然明朗了，但是要将其实现起来并不是信手拈来那么简单，尤其是数据量较大，需要使用分布式计算来实现，就更加不是那么地容易了。下面详细阐述Spark ML是如何完成ALS分布式实现的。为了更加直观的了解其分布式实现，下面用前面的打分矩阵作为例子，如下图所示。

[1500360565127_9670_1500360565111.png]

由前面的原理介绍可知，按照显示反馈模型，固定

求解，每个物品对隐含特征的偏好向量由以下公式得到：

[1500360595411_3835_1500360595385.png]

计算时，只需要计算得到

和 ，再利用BLAS库即可解方程，初次迭代计算时，随机初始化矩阵，假设得到如下初始形式：

[1500360714656_7023_1500360714627.png]

假如求解

，由于只有 和对 有打分，那么只需基于和来计算，根据相关线性代数知识就可以得到：

[1500360829558_2818_1500360829640.png]

有了这个基本求解思路后，考虑

的维度为，可以在单机上完成上述求解，那么就可以在不同task里完成不同物品的计算，实现分布式求解，由打分矩阵可以得到如下图所示的关系图。

[1500360897620_1590_1500360897610.png]

基于上述思路，就是要想办法把有打分关联的 u 和 v 想办法放到同一个分区里，这样就可以在一个task里完成对 v 的求解。首先对uid和vid以Hash分区的方式分区，假设分区数均为2，那么分区后的大致情况如下图所示，

和 在同一个分区中被求解，和在同一个分区中被求解。

[1500360979070_3966_1500360979052.png]

上面的图仅为感性认识图，实际上手头仅有的数据就是打分矩阵，可以通过一个RDD表示打分矩阵ratings，RDD中的每条记录为(uid, vid, rating)形式，由于是基于

求解，把uid称之为srcId，vid称之为dstId，按照srcId和dstId的分区方式，将ratings重新分区，得到的RDD为blockRatings，其中的每条记录为((srcBlockId, dstBlockId), RatingBlock)形式，key为srcId和dstId对应的分区id组成的二元组，value(RatingBlock)包含一个三元组(srcIds, dstIds, ratings)。对于前面的打分关系，原始打分矩阵重新分区如下图所示。

[1500361058584_4351_1500361058618.png]

对于 u 来说，是要将自身信息发给不同的 v，对于 v 来说，是要接收来自不同 u 的信息，例如，要将

发给、、，要接收和。那么基于上述重新分区后的打分RDD，分别得到关于 u 的出口信息userOutBlocks，以及 v 的入口信息itemInBlocks，就可以通过join将两者联系起来计算了。由于后面基于求，也需要求解关于 u 的入口信息userInBlocks，以及 v 的出口信息itemOutBlocks，所以一次性计算好并缓存起来。以计算 u 的入口信息和出口信息为例，在前面得到的重新分区后的blockRatings基础上求解，如下图所示。

[1500361169178_5511_1500361169214.png]

首先通过一个map操作，将记录形式((srcBlockId, dstBlockId), RatingBlock)转换为(srcBlockId, (dstBlockId, srcIds, dstLocalIndices, ratings))，其中dstLocalIndices为dstIds去重排序后，每个dstId在其分区中的索引，最后根据srcBlockId做groupByKey，合并相同srcBlockId对应的value，合并过程中，对dstLocalIndices中的每个元素加上其对应的dstBlockId，这里做了一个优化，就是将localIndex和blockId用一个Int编码表示，同时采用类似CSC压缩编码的方式，进一步压缩srcIds和dstIds的对应关系。这样就按照 uid 进行分区后，得到 u 的入口信息，即将跟 u 关联的 v 绑定在一起了。基于该入口信息，可以进一步得到 u 的出口信息，如下图所示。

[1500361205435_7611_1500361205431.png]

在userInBlocks基础上根据srcIds和dstIds的对应关系，通过map操作将(srcBlockId, (srcIds, dstPtrs, dstEncodedIndices, ratings))形式的记录转换为(srcBlockId, OutBlock)得到userOutBlocks，其中OutBlock是一个二维数组，有numDstBlock行，每一行为srcId所在srcBlockId中的索引，意为当前srcBlockId应该往每个dstBlockId发送哪些用户信息。

同理，在userInBlocks基础上初始化用户信息，得到userFactors，如下图所示，其中、、为随机初始化的向量。

[1500361222375_4115_1500361222380.png]

接着对userOutBlocks和userFactors做join就可以模拟发送信息了，userOutBlocks中保存了应该往哪里发送的信息，userFactors中保存了用户信息，即一个掌握了方向，一个掌握了信息，如下图所示：

[1500361270298_5277_1500361270320.png]

完成了从 u 到 v 的信息发送，后面就是基于 v 的入口信息来收集来自不同 u 的信息了，计算 v 的入口信息跟计算 u 的入口信息一样，只是先要把打分数据blockRatings的src和dst交换一下，如下图所示。

[1500361281804_2223_1500361281850.png]

将itemInBlocks与前面的userOut做join，即可将具有相同dstBlockId的记录拉到一起，userOut中包含来自 u 的信息，itemInBlocks包含了与src的对应关系以及打分数据，针对每个 v 找到所有给它发送信息的 u，进而套最小二乘正规方程计算得到itemFactors。

[1500361295218_9162_1500361295250.png]

得到itemFactors后可以以同样的方法基于求解，如此交替求解，直到最大迭代次数为止。

总结

ALS从基本原理上来看应该是很好理解的，但是要通过分布式计算来实现它，相对而言还是较为复杂的，本文重点阐述了Spark ML库中ALS的实现，要看懂以上计算流程，请务必结合源代码理解，凭空理解上述流程可能比较困难，在实际源码实现中，使用了很多优化技巧，例如使用在分区中的索引代替实际uid或vid，实现Int代替Long，使用数组等连续内存数据结构避免由于过多对象造成JVM GC后的内存碎片等。