中国台湾大学林轩田机器学习技法课程学习笔记11 -- Gradient Boosted Decision Tree

上节课我们主要介绍了Random Forest算法模型。Random Forest就是通过bagging的方式将许多不同的decision tree组合起来。除此之外，在decision tree中加入了各种随机性和多样性，比如不同特征的线性组合等。RF还可以使用OOB样本进行self-validation，而且可以通过permutation test进行feature selection。本节课将使用Adaptive Boosting的方法来研究decision tree的一些算法和模型。

Adaptive Boosted Decision Tree

Random Forest的算法流程我们上节课也详细介绍过，就是先通过bootstrapping“复制”原样本集D，得到新的样本集D’；然后对每个D’进行训练得到不同的decision tree和对应的g_t；最后再将所有的g_t通过uniform的形式组合起来，即以投票的方式得到G。这里采用的Bagging的方式，也就是把每个g_t的预测值直接相加。现在，如果将Bagging替换成AdaBoost，处理方式有些不同。首先每轮bootstrap得到的D’中每个样本会赋予不同的权重u^{(t)}；然后在每个decision tree中，利用这些权重训练得到最好的g_t；最后得出每个g_t所占的权重，线性组合得到G。这种模型称为AdaBoost-D Tree。

但是在AdaBoost-DTree中需要注意的一点是每个样本的权重u^{(t)}。我们知道，在Adaptive Boosting中进行了bootstrap操作，u^{(t)}表示D中每个样本在D’中出现的次数。但是在决策树模型中，例如C&RT算法中并没有引入u^{(t)}。那么，如何在决策树中引入这些权重u^{(t)}来得到不同的gtg_t而又不改变原来的决策树算法呢？

在Adaptive Boosting中，我们使用了weighted algorithm，形如： E_{in}^u(h)=\frac1N\sum_{n=1}^Nu_n\cdot err(y_n,h(x_n))

每个犯错误的样本点乘以相应的权重，求和再平均，最终得到了E_{in}^u(h)。如果在决策树中使用这种方法，将当前分支下犯错误的点赋予权重，每层分支都这样做，会比较复杂，不易求解。为了简化运算，保持决策树算法本身的稳定性和封闭性，我们可以把决策树算法当成一个黑盒子，即不改变其结构，不对算法本身进行修改，而从数据来源D’上做一些处理。按照这种思想，我们来看权重u实际上表示该样本在bootstrap中出现的次数，反映了它出现的概率。那么可以根据u值，对原样本集D进行一次重新的随机sampling，也就是带权重的随机抽样。sampling之后，会得到一个新的D’，D’中每个样本出现的几率与它权重u所占的比例应该是差不多接近的。因此，使用带权重的sampling操作，得到了新的样本数据集D’，可以直接代入决策树进行训练，从而无需改变决策树算法结构。sampling可看成是bootstrap的反操作，这种对数据本身进行修改而不更改算法结构的方法非常重要！

所以，AdaBoost-DTree结合了AdaBoost和DTree，但是做了一点小小的改变，就是使用sampling替代权重u^{(t)}，效果是相同的。

上面我们通过使用sampling，将不同的样本集代入决策树中，得到不同的g_t。除此之外，我们还要确定每个g_t所占的权重\alpha_t。之前我们在AdaBoost中已经介绍过，首先算出每个g_t的错误率\epsilon_t，然后计算权重： \alpha_t=ln\ \diamond_t=ln \sqrt{\frac{1-\epsilon_t}{\epsilon_t}}

如果现在有一棵完全长成的树（fully grown tree），由所有的样本xnx_n训练得到。若每个样本都不相同的话，一刀刀切割分支，直到所有的xnx_n都被完全分开。这时候，E_{in}(g_t)=0，加权的E_{in}^u(g_t)=0而且\epsilon_t也为0，从而得到权重α\alpha_t=\infty。\alpha_t=\infty表示该g_t所占的权重无限大，相当于它一个就决定了G结构，是一种autocracy，而其它的g_t对G没有影响。

显然α\alpha_t=\infty不是我们想看到的，因为autocracy总是不好的，我们希望使用aggregation将不同的g_t结合起来，发挥集体智慧来得到最好的模型G。首先，我们来看一下什么原因造成了\alpha_t=\infty。有两个原因：一个是使用了所有的样本x_n进行训练；一个是树的分支过多，fully grown。针对这两个原因，我们可以对树做一些修剪（pruned），比如只使用一部分样本，这在sampling的操作中已经起到这类作用，因为必然有些样本没有被采样到。除此之外，我们还可以限制树的高度，让分支不要那么多，从而避免树fully grown。

因此，AdaBoost-DTree使用的是pruned DTree，也就是说将这些预测效果较弱的树结合起来，得到最好的G，避免出现autocracy。

刚才我们说了可以限制树的高度，那索性将树的高度限制到最低，即只有1层高的时候，有什么特性呢？当树高为1的时候，整棵树只有两个分支，切割一次即可。如果impurity是binary classification error的话，那么此时的AdaBoost-DTree就跟AdaBoost-Stump没什么两样。也就是说AdaBoost-Stump是AdaBoost-DTree的一种特殊情况。

值得一提是，如果树高为1时，通常较难遇到\epsilon_t=0的情况，且一般不采用sampling的操作，而是直接将权重u代入到算法中。这是因为此时的AdaBoost-DTree就相当于是AdaBoost-Stump，而AdaBoost-Stump就是直接使用u来优化模型的。

Optimization View of AdaBoost

接下来，我们继续将继续探讨AdaBoost算法的一些奥妙之处。我们知道AdaBoost中的权重的迭代计算如下所示：

之前对于incorrect样本和correct样本，u_n^{(t+1)}的表达式不同。现在，把两种情况结合起来，将u_n^{(t+1)}写成一种简化的形式： u_n^{(t+1)}=u_n^{(t)}\cdot \diamond_t^{-y_ng_t(x_n)}=u_n^{(t)}\cdot exp(-y_n\alpha_tg_t(x_n))

其中，对于incorrect样本，y_ng_t(x_n)<0，对于correct样本，y_ng_t(x_n)>0。从上式可以看出，u_n^{(t+1)}由u_n^{(t)}与某个常数相乘得到。所以，最后一轮更新的u_n^{(T+1)}可以写成u_n^{(1)}的级联形式，我们之前令u_n^{(1)}=\frac1N，则有如下推导： u_n^{(T+1)}=u_n^{(1)}\cdot \prod_{t=1}^Texp(-y_n\alpha_tg_t(x_n))=\frac1N\cdot exp(-y_n\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n))

上式中\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n)被称为voting score，最终的模型G=sign(\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n))。可以看出，在AdaBoost中，u_n^{(T+1)}与exp(-y_n(voting\ score\ on\ x_n))成正比。

接下来我们继续看一下voting score中蕴含了哪些内容。如下图所示，voting score由许多g_t(x_n)乘以各自的系数\alpha_t线性组合而成。从另外一个角度来看，我们可以把g_t(x_n)看成是对xnx_n的特征转换\phi_i(x_n)，\alpha_t就是线性模型中的权重w_i。看到这里，我们回忆起之前SVM中，w与\phi (x_n)的乘积再除以w的长度就是margin，即点到边界的距离。另外，乘积项再与y_n相乘，表示点的位置是在正确的那一侧还是错误的那一侧。所以，回过头来，这里的voting score实际上可以看成是没有正规化（没有除以w的长度）的距离，即可以看成是该点到分类边界距离的一种衡量。从效果上说，距离越大越好，也就是说voting score要尽可能大一些。

我们再来看，若voting score与y_n相乘，则表示一个有对错之分的距离。也就是说，如果二者相乘是负数，则表示该点在错误的一边，分类错误；如果二者相乘是正数，则表示该点在正确的一边，分类正确。所以，我们算法的目的就是让y_n与voting score的乘积是正的，而且越大越好。那么在刚刚推导的u_n^{(T+1)}中，得到exp(-y_n(voting\ score))越小越好，从而得到u_n^{(T+1)}越小越好。也就是说，如果voting score表现不错，与y_n的乘积越大的话，那么相应的u_n^{(T+1)}应该是最小的。

那么在AdaBoost中，随着每轮学习的进行，每个样本的u_n^{(t)}是逐渐减小的，直到u_n^{(T+1)}最小。以上是从单个样本点来看的。总体来看，所有样本的u_n^{(T+1)}之和应该也是最小的。我们的目标就是在最后一轮（T+1）学习后，让所有样本的u_n^{(T+1)}之和尽可能地小。u_n^{(T+1)}之和表示为如下形式：

上式中，\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n)被称为linear score，用s表示。对于0/1 error：若ys<0，则err_{0/1}=1；若ys>=0，则err_{0/1}=0。如下图右边黑色折线所示。对于上式中提到的指数error，即\hat{err}_{ADA}(s,y)=exp(-ys)，随着ys的增加，error单调下降，且始终落在0/1 error折线的上面。如下图右边蓝色曲线所示。很明显，\hat{err}_{ADA}(s,y)可以看成是0/1 error的上界。所以，我们可以使用\hat{err}_{ADA}(s,y)来替代0/1 error，能达到同样的效果。从这点来说，\sum_{n=1}^Nu_n^{(T+1)}可以看成是一种error measure，而我们的目标就是让其最小化，求出最小值时对应的各个\alpha_t和g_t(x_n)。

下面我们来研究如何让\sum_{n=1}^Nu_n^{(T+1)}取得最小值，思考是否能用梯度下降（gradient descent）的方法来进行求解。我们之前介绍过gradient descent的核心是在某点处做一阶泰勒展开：

其中，w_t是泰勒展开的位置，v是所要求的下降的最好方向，它是梯度\nabla E_{in}(w_t)的反方向，而η\eta是每次前进的步长。则每次沿着当前梯度的反方向走一小步，就会不断逼近谷底（最小值）。这就是梯度下降算法所做的事情。

现在，我们对\check{E}_{ADA}做梯度下降算法处理，区别是这里的方向是一个函数g_t，而不是一个向量w_t。其实，函数和向量的唯一区别就是一个下标是连续的，另一个下标是离散的，二者在梯度下降算法应用上并没有大的区别。因此，按照梯度下降算法的展开式，做出如下推导：

上式中，h(x_n)表示当前的方向，它是一个矩，η是沿着当前方向前进的步长。我们要求出这样的h(x_n)和η，使得\check{E}_{ADA}是在不断减小的。当\check{E}_{ADA}取得最小值的时候，那么所有的方向即最佳的h(x_n)和η就都解出来了。上述推导使用了在\eta h(x_n)=0处的一阶泰勒展开近似。这样经过推导之后，\check{E}_{ADA}被分解为两个部分，一个是前N个u之和-η

\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}，也就是当前所有的E_{in}之和；另外一个是包含下一步前进的方向h(x_n)和步进长度η的项-η

\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}y_nh(x_n)。\check{E}_{ADA}的这种形式与gradient descent的形式基本是一致的。

那么接下来，如果要最小化\check{E}_{ADA}的话，就要让第二项-\eta\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}y_nh(x_n)越小越好。则我们的目标就是找到一个好的h(x_n)（即好的方向）来最小化\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))，此时先忽略步进长度η\eta。

对于binary classification，y_n和h(x_n)均限定取值-1或+1两种。我们对\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))做一些推导和平移运算：

最终\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))化简为两项组成，一项是-\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}；另一项是2E_{in}^{u(t)}(h)\cdot N。则最小化\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))就转化为最小化E_{in}^{u(t)}(h)。要让E_{in}^{u(t)}(h)最小化，正是由AdaBoost中的base algorithm所做的事情。所以说，AdaBoost中的base algorithm正好帮我们找到了梯度下降中下一步最好的函数方向。

以上就是从数学上，从gradient descent角度验证了AdaBoost中使用base algorithm得到的g_t就是让\check{E}_{ADA}减小的方向，只不过这个方向是一个函数而不是向量。

在解决了方向问题后，我们需要考虑步进长度η如何选取。方法是在确定方向g_t后，选取合适的η，使\check{E}_{ADA}取得最小值。也就是说，把\check{E}_{ADA}看成是步进长度η的函数，目标是找到\check{E}_{ADA}最小化时对应的η值。

目的是找到在最佳方向上的最大步进长度，也就是steepest decent。我们先把\check{E}_{ADA}表达式写下来：

\check{E}_{ADA}=\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}exp(-y_n\eta g_t(x_n))

上式中，有两种情况需要考虑：

• yn=gt(xn)y_n=g_t(x_n)：u(t)nexp(−η)u_n^{(t)}exp(-\eta) correct
• yn≠gt(xn)y_n\neq g_t(x_n)：u(t)nexp(+η)u_n^{(t)}exp(+\eta) incorrect

经过推导，可得： \check{E}_{ADA}=(\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)})\cdot ((1-\epsilon_t)exp(-\eta)+\epsilon_t\ exp(+\eta))

然后对η求导，令\frac{\partial \check{E}_{ADA}}{\partial \eta}=0，得： \eta_t=ln\sqrt{\frac{1-\epsilon_t}{\epsilon_t}}=\alpha_t

由此看出，最大的步进长度就是\alpha_t，即AdaBoost中计算g_t所占的权重。所以，AdaBoost算法所做的其实是在gradient descent上找到下降最快的方向和最大的步进长度。这里的方向就是g_t，它是一个函数，而步进长度就t\alpha_t。也就是说，在AdaBoost中确定g_t和\alpha_t的过程就相当于在gradient descent上寻找最快的下降方向和最大的步进长度。

Gradient Boosting

前面我们从gradient descent的角度来重新介绍了AdaBoost的最优化求解方法。整个过程可以概括为：

以上是针对binary classification问题。如果往更一般的情况进行推广，对于不同的error function，比如logistic error function或者regression中的squared error function，那么这种做法是否仍然有效呢？这种情况下的GradientBoost可以写成如下形式：

仍然按照gradient descent的思想，上式中，h(x_n)是下一步前进的方向，η是步进长度。此时的error function不是前面所讲的exp了，而是任意的一种error function。因此，对应的hypothesis也不再是binary classification，最常用的是实数输出的hypothesis，例如regression。最终的目标也是求解最佳的前进方向h(x_n)和最快的步进长度η。

接下来，我们就来看看如何求解regression的GradientBoost问题。它的表达式如下所示：

利用梯度下降的思想，我们把上式进行一阶泰勒展开，写成梯度的形式：

上式中，由于regression的error function是squared的，所以，对s的导数就是2(s_n-y_n)。其中标注灰色的部分表示常数，对最小化求解并没有影响，所以可以忽略。很明显，要使上式最小化，只要令h(x_n)是梯度2(s_n-y_n)的反方向就行了，即h(x_n)=-2(s_n-y_n)。但是直接这样赋值，并没有对h(x_n)的大小进行限制，一般不直接利用这个关系求出h(x_n)。

实际上h(x_n)的大小并不重要，因为有步进长度η。那么，我们上面的最小化问题中需要对h(x_n)的大小做些限制。限制h(x_n)的一种简单做法是把h(x_n)的大小当成一个惩罚项（h^2(x_n)）添加到上面的最小化问题中，这种做法与regularization类似。如下图所示，经过推导和整理，忽略常数项，我们得到最关心的式子是： min\ \sum_{n=1}^N((h(x_n)-(y_n-s_n))^2)

上式是一个完全平方项之和，y_n-s_n表示当前第n个样本真实值和预测值的差，称之为余数。余数表示当前预测能够做到的效果与真实值的差值是多少。那么，如果我们想要让上式最小化，求出对应的h(x_n)的话，只要让h(x_n)尽可能地接近余数y_n-s_n即可。在平方误差上尽可能接近其实很简单，就是使用regression的方法，对所有N个点(x_n,y_n-s_n)做squared-error的regression，得到的回归方程就是我们要求的g_t(x_n)。

以上就是使用GradientBoost的思想来解决regression问题的方法，其中应用了一个非常重要的概念，就是余数y_n-s_n。根据这些余数做regression，得到好的矩g_t(x_n)，方向函数g_t(x_n)也就是由余数决定的。

在求出最好的方向函数g_t(x_n)之后，就要来求相应的步进长度η。表达式如下：

同样，对上式进行推导和化简，得到如下表达式：

上式中也包含了余数y_n-s_n，其中g_t(x_n)可以看成是x_n的特征转换，是已知量。那么，如果我们想要让上式最小化，求出对应的η的话，只要让\eta g_t(x_n)尽可能地接近余数y_n-s_n即可。显然，这也是一个regression问题，而且是一个很简单的形如y=ax的线性回归，只有一个未知数η。只要对所有N个点(\eta g_t(x_n),y_n-s_n)做squared-error的linear regression，利用梯度下降算法就能得到最佳的η。

将上述这些概念合并到一起，我们就得到了一个最终的演算法Gradient Boosted Decision Tree(GBDT)。可能有人会问，我们刚才一直没有说到Decison Tree，只是讲到了GradientBoost啊？下面我们来看看Decison Tree究竟是在哪出现并使用的。其实刚刚我们在计算方向函数gtg_t的时候，是对所有N个点(x_n,y_n-s_n)做squared-error的regression。那么这个回归算法就可以是决策树C&RT模型（决策树也可以用来做regression）。这样，就引入了Decision Tree，并将GradientBoost和Decision Tree结合起来，构成了真正的GBDT算法。GBDT算法的基本流程图如下所示：

值得注意的是，s_n的初始值一般均设为0，即s_1=s_2=\cdots =s_N=0。每轮迭代中，方向函数g_t通过C&RT算法做regression，进行求解；步进长度\eta通过简单的单参数线性回归进行求解；然后每轮更新s_n的值，即s_n\leftarrow s_n+\alpha_tg_t(x_n)。T轮迭代结束后，最终得到G(x)=\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x)。

值得一提的是，本节课第一部分介绍的AdaBoost-DTree是解决binary classification问题，而此处介绍的GBDT是解决regression问题。二者具有一定的相似性，可以说GBDT就是AdaBoost-DTree的regression版本。

Summary ofAggregation Models

从机器学习技法课程的第7节课笔记到现在的第11节课笔记，我们已经介绍完所有的aggregation模型了。接下来，我们将对这些内容进行一个简单的总结和概括。

首先，我们介绍了blending。blending就是将所有已知的gtg_t aggregate结合起来，发挥集体的智慧得到G。值得注意的一点是这里的gtg_t都是已知的。blending通常有三种形式：

• uniform：简单地计算所有gtg_t的平均值
• non-uniform：所有gtg_t的线性组合
• conditional：所有gtg_t的非线性组合

其中，uniform采用投票、求平均的形式更注重稳定性；而non-uniform和conditional追求的更复杂准确的模型，但存在过拟合的危险。

刚才讲的blending是建立在所有g_t已知的情况。那如果所有g_t未知的情况，对应的就是learning模型，做法就是一边学g_t，一边将它们结合起来。learning通常也有三种形式（与blending的三种形式一一对应）：

• Bagging：通过bootstrap方法，得到不同g_t，计算所有g_t的平均值
• AdaBoost：通过bootstrap方法，得到不同g_t，所有g_t的线性组合
• Decision Tree：通过数据分割的形式得到不同的g_t，所有g_t的非线性组合

然后，本节课我们将AdaBoost延伸到另一个模型GradientBoost。对于regression问题，GradientBoost通过residual fitting的方式得到最佳的方向函数gtg_t和步进长度η。

除了这些基本的aggregation模型之外，我们还可以把某些模型结合起来得到新的aggregation模型。例如，Bagging与Decision Tree结合起来组成了Random Forest。Random Forest中的Decision Tree是比较“茂盛”的树，即每个树的g_t都比较强一些。AdaBoost与Decision Tree结合组成了AdaBoost-DTree。AdaBoost-DTree的Decision Tree是比较“矮弱”的树，即每个树的gtg_t都比较弱一些，由AdaBoost将所有弱弱的树结合起来，让综合能力更强。同样，GradientBoost与Decision Tree结合就构成了经典的算法GBDT。

Aggregation的核心是将所有的gtg_t结合起来，融合到一起，即集体智慧的思想。这种做法之所以能得到很好的模型G，是因为aggregation具有两个方面的优点：cure underfitting和cure overfitting。

第一，aggregation models有助于防止欠拟合（underfitting）。它把所有比较弱的gtg_t结合起来，利用集体智慧来获得比较好的模型G。aggregation就相当于是feature transform，来获得复杂的学习模型。

第二，aggregation models有助于防止过拟合（overfitting）。它把所有gtg_t进行组合，容易得到一个比较中庸的模型，类似于SVM的large margin一样的效果，从而避免一些极端情况包括过拟合的发生。从这个角度来说，aggregation起到了regularization的效果。

由于aggregation具有这两个方面的优点，所以在实际应用中aggregation models都有很好的表现。

总结

本节课主要介绍了Gradient Boosted Decision Tree。首先讲如何将AdaBoost与Decision Tree结合起来，即通过sampling和pruning的方法得到AdaBoost-D Tree模型。然后，我们从optimization的角度来看AdaBoost，找到好的hypothesis也就是找到一个好的方向，找到权重α也就是找到合适的步进长度。接着，我们从binary classification的0/1 error推广到其它的error function，从Gradient Boosting角度推导了regression的squared error形式。Gradient Boosting其实就是不断迭代，做residual fitting。并将其与Decision Tree算法结合，得到了经典的GBDT算法。最后，我们将所有的aggregation models做了总结和概括，这些模型有的能防止欠拟合有的能防止过拟合，应用十分广泛。

注明：

文章中所有的图片均来自中国台湾大学林轩田《机器学习技法》课程