Hinge loss

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Hinge loss

在机器学习中，hinge loss常作为分类器训练时的损失函数。hinge loss用于“最大间隔”分类，特别是针对于支持向量机（SVM）。对于一个期望输出

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和分类分数y，预测值y的hinge loss被定义为：

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（为了方便将其写作L(y)） 注意：这里的y分类器决策函数的“原始”输出，而不是预测的类别标签。例如，在线性SVM中，y=wx+b，(w,b)是分类超平面的参数，x是要分类的点。 可以看到，当t和y有相同的符号的时候（这意味着y的预测是正确的）并且

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，hinge loss的结果为L(y)=0，但是当出现错误的分类是，hinge loss的L(y)与y呈线性关系（一个线性误差）。

扩展

当然有时二分类的SVM通常会以一对一或者一对多的形式扩展到多分类的任务，为了实现这个目的，也可以扩展hinge loss函数。现在已经有多种hinge loss的不同的变化形式。比如，Crammer and Singer提出的一种针对线性分类器的损失函数：

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Weston and Watkins提出了一种相似定义，但是用相加取代了求最大值：

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在结构化预测中，hinge loss可以进一步扩展到结构化输出空间。具有边缘重新缩放的结构化SVM使用以下变量，其中w表示SVM参数，y表示SVM的预测结果，φ是联合特征函数，Δ表示Hamming loss：

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优化

hinge loss是一个凸函数，所以，很多在机器学习中涉及到的凸优化方法同样适用于hinge loss。它是不可微的（不连续啊），但是对于线性SVM（

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），具有关于模型参数w的子梯度，被定义为：

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然而，因为hinge loss在t*y=1的时候导数是不确定的，所以一个平滑版的hinge loss函数可能更加适用于优化，它由Rennie and Srebro提出：

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除此之外，还有二次方（平方）平滑：

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modified Huber loss是在

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时的特殊情况。

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上图为hinge loss函数关于z=ty的三种版本，蓝色的线是原始版，绿色线为二次方平滑，红色的线为分段平滑，也就是被Rennie and Srebro 提出的那一版。

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上图中为hinge loss（蓝）和0/1损失（绿）。注意，hinge loss函数惩罚了ty<1（也就是说在ty<1的时候有loss不为0），这个特点和SVM中的分类间隔的概念是相对应的。