复杂网络(2)--图论的基本理论-最小生成树问题

连通且不含圈的无向图称为树(tree)。树中度为1的节点称为树叶,度大于1的节点称为分支点。 若图G=(V,E)的生成子图是一棵树,则称该树为图G的生成树(spanning tree),也称支撑树,简称为图G的树。图G中属于生成树的边称为树枝(branch)。 连通图G=(V,E),每条边上有非负权L(e)。一棵树上所有树枝上权的总和,称为这个生成树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树(minimum spanning tree),也称最小支撑树,简称最小树。 许多网络问题都可以归结为最小树问题,例如:交通系统,通信系统,局域网系统等等。 最小生成树的算法:

1 普里姆算法(prim算法)

普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。 给定连通赋权图G=(V,E,W),其中W为邻接矩阵,构造它的最小生成树。设置两个集合P和Q,其中P用于存放G的最小生成树的节点,集合Q存放G的最小生成树的边。令集合P的初值为P={V1}(假设构造最小生成树时从节点V1出发),集合Q的初值Q=空集。Prim算法的思想是,从所有p属于P,v属于V-P的边中,选取具有最小权值得边pv,将节点v加入集合P中,将边pv加入集合Q中,如此不断的重复,直到P=V时,最小生成树构造完毕,这时集合Q包含了最小生成树的所有边。

1 算法简单描述

1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E; 2).初始化:P = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Q = {},为空; 3).重复下列操作,直到P = V: a.在集合E中选取权值最小的边

2 算法的图例描述

3 简单证明prim算法

反证法:假设prim生成的不是最小生成树

  • 1).设prim生成的树为G0
  • 2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)

4 prim算法的python实现

'''
#file:py_prim.py
#最小生成树 prim算法的python实现
'''
debug = 0
MAX_NUM = 10000
v_num = 6

grapharr = [[0, 6, 1, 5, MAX_NUM, MAX_NUM],
            [6, 0, 5, MAX_NUM, 3, MAX_NUM],
            [1, 5, 0, 5, 5, 4],
            [5, MAX_NUM, 5, 0, MAX_NUM, 2],
            [MAX_NUM, 3, 6, MAX_NUM, 0, 6],
            [MAX_NUM, MAX_NUM, 4, 2, 6, 0],
            ]

######################################
# U放已经匹配好的顶点:
U = []
# V初始化为所有顶点的集合:
V = []
# T放各个边:
T = []


def init():
    if (debug):
        print("grapharr=", end="")
        print(grapharr)
    i = 0
    while i < v_num:
        V.append(i + 1)
        i = i + 1


def prim_start_vertex(start):
    if (start < 1):
        print("ERROR:start=", start)
        print("ERROR:change start to 1 by default!")
        start = 1

    U.append(start)
    del V[start - 1]


def list_sort(l):
    if (len(l) < 1):
        print("ERROR:len of l =", len(l))
        exit

    index = 0
    i = 0
    min_val = l[0]
    while i < len(l):
        if min_val > l[i]:
            min_val = l[i]
            index = i

        i = i + 1
    if (debug):
        print("[list_sort]:l=", l, ";index=", index)
    return index


def min_wui():
    m = MAX_NUM
    close_edge = {'u': -1, 'v': -1}
    edge_list = []
    vertex_list = []
    i = 0
    j = 0
    # 算出U和V之间所有边的长度:
    lu = len(U)
    lv = len(V)
    if (debug):
        print("##############entry min_wui###########")
        print("lu=", lu, ";lv=", lv)
    while i < len(U):
        while j < len(V):
            if (debug):
                print("i=", i, ";j=", j)
                print("U[i]=", U[i], ";V[j]=", V[j])
            temp = grapharr[U[i] - 1][V[j] - 1]
            if (temp > 0):
                if (temp < MAX_NUM):
                    close_edge = {'u': U[i], 'v': V[j]}
                if (debug):
                    print("close_edge=", close_edge)
                vertex_list.append(close_edge)
                edge_list.append(temp)

            j = j + 1
        # for i:
        i = i + 1
        j = 0
    # end of :for while i
    if (debug):
        print("vertex_list=", vertex_list)
        print("edge_list=", edge_list)
    min_index = list_sort(edge_list)
    close_edge = vertex_list[min_index]
    U.append(close_edge['v'])
    del V[V.index(close_edge['v'])]
    if (debug):
        print("U=", U)
        print("V=", V)
    return close_edge


def py_prim(start):
    init()
    prim_start_vertex(start)
    print("init values:")
    print("U=", U)
    print("V=", V)
    print("T=", T)
    while (len(U) != v_num):
        if (debug):
            print("len(U)=", len(U))
        our_edge = min_wui()
        T.append(our_edge)

    print("========RESULT============")
    print("U=", U)
    print("V=", V)
    print("T=", T)


######################################
if (__name__ == "__main__"):
    # 开始主程序:
    debug = 0
    py_prim(1)



调试结果:
init values:
U= [1]
V= [2, 3, 4, 5, 6]
T= []
========RESULT============
U= [1, 3, 6, 4, 2, 5]
V= []
T= [{'v': 3, 'u': 1}, {'v': 6, 'u': 3}, {'v': 4, 'u': 6}, {'v': 2, 'u': 3}, {'v': 5, 'u': 2}]

二 kruskal算法

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

1 kruskal算法的精髓在于:每次选取一条边,该边同时满足:

1、在当前未选边中权值最小; 2、与已选边不构成回路。直到选取n-1条表是算法结束。找到MST活判断不存在MST。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点,e个边 2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边 3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序 4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中 if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中 添加这条边到图Graphnew中

3 图片描述

3.简单证明Kruskal算法 对图的顶点数n做归纳,证明Kruskal算法对任意n阶图适用。 归纳基础: n=1,显然能够找到最小生成树。 归纳过程: 假设Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中,我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v’,把原来接在u和v的边都接到v’上去,这样就能够得到一个k阶图G’(u,v的合并是k+1少一条边),G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。 我们证明T’+{

4.代码算法实现

from pylab import *

INFINITY = 65535                        #代表无穷大
vexs = array([[0,10,INFINITY,INFINITY,INFINITY,11,INFINITY,INFINITY,INFINITY],#邻接矩阵
        [10,0,18,INFINITY,INFINITY,INFINITY,16,INFINITY,12],
        [INFINITY,18,0,22,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,8],
        [INFINITY,INFINITY,22,0,20,INFINITY,INFINITY,16,21],
        [INFINITY,INFINITY,INFINITY,20,0,26,INFINITY,7,INFINITY],
        [11,INFINITY,INFINITY,INFINITY,26,0,17,INFINITY,INFINITY],
        [INFINITY,16,INFINITY,24,INFINITY,17,0,19,INFINITY],
        [INFINITY,INFINITY,INFINITY,16,7,INFINITY,19,0,INFINITY],
        [INFINITY,12,8,21,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,0]])

lengthVex = len(vexs)                   #邻接矩阵大小
beginEdge = []
endEdge = []
weight = []
group = []
for i in arange(lengthVex):             #生成边集数组
    group.append([i])
    for j in arange(i+1,lengthVex):
        if(vexs[i, j]>0 and vexs[i, j]<INFINITY):
            beginEdge.append(i)         #每条边的起点
            endEdge.append(j)           #每条边的终点
            weight.append(vexs[i, j])   #每条边的权值

lengthEdge = len(weight)                #边的条数
sum = 0
for i in arange(lengthEdge):            #遍历每条边
    I = (argsort(weight))[0]
    for j in arange(lengthVex):
        if(beginEdge[I]) in group[j]:
            m = j
        if(endEdge[I]) in group[j]:
            n = j
    if m != n:                          #判断当前这条边是否属于不同的连通分量,如果是,将其合并
        group[m] = group[m] + group[n]
        group[n] = []
        sum = sum + weight[I]
        print(weight[I])
    del weight[I]                       #删除遍历过的边以及顶点
    del beginEdge[I]
    del endEdge[I]
print("The length of the minimum cost spanning tree is: ",sum)

5 时间复杂度:elog2e e为图中的边数

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