机器学习、人工智能炙手可热,但是机器到底为什么可以学习呢?本文将从霍夫丁不等式讲到VC维,探究机器学习的原因所在。
本文的主要内容参考国立中国台湾大学的《机器学习基石》课程,作者在其基础上进行了部分提炼与整合。
机器学习乍听之下很厉害,这时候人就会想,这一个普普通通的死板的机器,怎么会学习呢? 很容易地,人们举了个简单的问题(如下图):x,y,g,fx,y,g,f分别表示:数据集、数据标签、预测模型、实际的模型。前5行的数据代表已知的,后三行的数据需要机器学习预测模型去预测。
悲催的是,符合已知的数据的预测模型最多有8种,这8种任选一种,都可以完全符合已知的数据,也都可以完全不符合未知的数据。这么看来,机器确实是学习不到东西的。
假定面前有一个箱子,箱子里面有绿球和黄球,已知黄球的比例是μ\mu,希望通过抽取NN个样本,学习样本中黄球的比例vv去逼近μ\mu。
μ,v\mu,v满足的关系如下,其中ϵ\epsilon代表误差限,下面的式子叫做Hoeffding
不等式。
P(|v−μ|>ϵ)P(|Ein−Eout|>ϵ)P(BAD)≤2exp(−2ϵ2N)≤2exp(−2ϵ2N)≤2exp(−2ϵ2N)
\begin{split} &P(|v-\mu| > \epsilon) &\le 2\exp(-2\epsilon^2N) \\ &P(|E_{in}-E_{out}| > \epsilon) &\le 2\exp(-2\epsilon^2N) \\ &P(BAD) &\le 2\exp(-2\epsilon^2N) \end{split}
设定一定的误差容忍限ϵ\epsilon后,需要做到如下的事情机器才可能学习:
有了Hoeffding
不等式后,我们会想,机器如果有足够大的数据,是不是就可以学习到数据背后的模型,也就实现了机器学习?
在探讨机器为什么可以学习之前,先阐述下机器学习的一般模式。
一句话阐述如下:算法AA通过数据DD和假设集HH去学习实际模型ff的估计gg。
机器要学习,需要满足这两件事情:
上述的Hoeffding
不等式只适用于单次实验,假定假设集是R2R^2上的直线,那么单次实验相当于确定直线为y=x+1y=x+1的时候,Ein,EoutE_{in},E_{out}的差值受Hoeffding
不等式的限制。
可是,一般情况下,我们的假设集是很大的,R2R^2上的直线包含无限个假设gg。如果不断尝试假设gg,视比例vv为EinE_{in},那么总会找到对应Ein很小的E_{in}很小的gg。对应计算盒子中黄球的比例vv很低,那么当取了非常非常多次后,非常大的可能会出现v=0v=0(也就是Ein=0E_{in}=0)的情况。可是,这种时候不能说μ=0\mu=0(也就是Eout=0E_{out}=0)。
同样的,当假设集的大小是MM时,P(BAD)P(BAD)的上限是MM个假设gg的P(BAD)P(BAD)的和,所以有:
P(|Ein−Eout|>ϵ)P(BAD)≤2Mexp(−2ϵ2N)≤2Mexp(−2ϵ2N)
\begin{split} &P(|E_{in}-E_{out}| > \epsilon) &\le 2M\exp(-2\epsilon^2N) \\ &P(BAD) &\le 2M\exp(-2\epsilon^2N) \end{split}
设定一定的误差容忍限ϵ\epsilon后,需要做到如下的事情机器才可能学习:
这样一来,又一个问题接踵而来,很多假设集(比如R2R^2上直线)的MM都是无穷的啊,这样的话机器岂不是不能学习?
首先,先来分析下上面式子中的MM来源于哪里。 MM是假设集中所有gg的个数,但是以R2R^2上的直线为例,相当多的直线长得差不多,这样MM中的所有gg重叠了很大一部分,所以自然而然地引出了一个问题:
对于一个假设集HH,有效的MM是多少呢(揭露下,是mH(N)m_H(N)啦)?
有效的假设集的个数,和假设集的break point关系很大。假设集的break point指的是:不能被假设集打散(shatter)的最小的点的个数。需要注意的是,这里不能被打散是指点的所有分布都不能被打散。
举个例子,R2R^2上的直线,3个点有可以打散的分布,也有不可以打散的分布;但是4个点的任何分布都是打不散的。所以R2R^2上的直线的break point是4。
常见的假设集及其break point如下:
假设集 | break point |
---|---|
positive ray | 2 |
positive intervals | 3 |
convex sets | no |
2D perceptrons | 4 |
break point求出之后,mH(n)=O(Nk−1)m_H(n) = O(N^{k-1}),其增长率受break point的限制。
VC维是break point-1的值,物理含义是自由参数。
通过前面的计算,得到了:
P(|Ein−Eout|>ϵ)P(BAD)≤2Mexp(−2ϵ2N)≤2Mexp(−2ϵ2N)
\begin{split} &P(|E_{in}-E_{out}| > \epsilon) &\le 2M\exp(-2\epsilon^2N) \\ &P(BAD) &\le 2M\exp(-2\epsilon^2N) \end{split}
稍作变换, 即得到:
P(|Ein−Eout|>ϵ)P(BAD)≤4(2N)dvcexp(−18ϵ2N)≤4(2N)dvcexp(−18ϵ2N)
\begin{split} &P(|E_{in}-E_{out}| > \epsilon) &\le 4(2N)^{d_{vc}}\exp(-\frac{1}{8}\epsilon^2N) \\ &P(BAD) &\le 4(2N)^{d_{vc}}\exp(-\frac{1}{8}\epsilon^2N) \end{split}
设定一定的误差容忍限ϵ\epsilon后,需要做到如下的事情机器才可能学习:
这样一来,选择合适的假设集,机器学习成为了可能。
最简单的学习方法是PLA,其假设集是h(x)=sign(wTx)h(x) = sign(w^T x)。
其算法核心是:更正错误,迭代提高。
这样更正的依据是:让wTxy>0w^Txy>0,通过每次更正,保证了wTt+1xnyn≥wTtxnynw_{t+1}^T x_n y_n \ge w_t ^T x_n y_n。
PLA保证如果线性可分,那么最终模型收敛。
PLA如果线性不可分,则可设定迭代次数,每次获得新的模型,与先前模型比较,选择最优模型。
让机器学得更好,可参考如下几点:
理论 | 适用范围 | 公式 |
---|---|---|
Hoeffding | 单假设集 | P(BAD)≤2exp(−2ϵ2N)P(BAD) \le 2\exp(-2\epsilon^2N) |
Multi-Bin Hoeffding | MM个假设集 | P(BAD)≤2Mexp(−2ϵ2N)P(BAD) \le 2M\exp(-2\epsilon^2N) |
VC | 假设集集合HH | P(BAD)≤4(2N)dvcexp(−18ϵ2N)P(BAD) \le 4(2N)^{d_{vc}}\exp(-\frac{1}{8}\epsilon^2N) |