机器学习的很多算法表示中都采用了矩阵的形式,对算法的描述分析中就涉及到了对向量、对矩阵的求导。 比如SVM、linear regression的推导等。
矩阵求导有两种布局:
下面用向量y\mathrm{\mathbf{y}}对标量xx求导简单说明这两种布局的区别。 我们假定所有的向量都是列向量。
y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y1y2⋮ym⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
\mathbf{y}=\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{m} \end{bmatrix}
在分子布局下:
∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x∂y2∂x⋮∂ym∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
\frac{\partial\mathbf{y}}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_{1}}{\partial x}\\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x}\\ \vdots\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x} \end{bmatrix}
在分母布局下:
∂y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋯∂ym∂x]
\frac{\partial\mathbf{y}}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_{1}}{\partial x} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x}\end{bmatrix} %]]>
在下面的推导中,都将采用分母布局,也就是向量(列)对标量求导的结果都是行向量。(采用这种布局的主要原因是向量对向量的求导就是一个矩阵了)
求导大致分为5类:
矩阵求导的大致规则如下: 对标量求导结果都要转置,而标量对向量或者矩阵求导的话位置不变。 简单来说,上变下不变。
向量对标量求导:
∂y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋯∂ym∂x]
\frac{\partial\mathbf{y}}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_{1}}{\partial x} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x}\end{bmatrix} %]]>
标量对向量求导:
∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y∂x1∂y∂x2⋮∂y∂xm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
\frac{\partial y}{\partial\mathbf{x}}=\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_{1}}\\ \frac{\partial y}{\partial x_{2}}\\ \vdots\\ \frac{\partial y}{\partial x_{m}} \end{bmatrix}
向量对向量求导:
x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{bmatrix}
y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y1y2⋮ym⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
\mathbf{y}=\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{m} \end{bmatrix}
∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x1∂y1∂x2⋮∂y1∂xn∂y2∂x1∂y2∂x2⋮∂y2∂xn⋯⋯⋱⋯∂ym∂x1∂ym∂x2⋮∂ym∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
\frac{\partial\mathbf{y}}{\partial\mathbf{x}}=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}}\\ \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{2}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{n}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} %]]>
矩阵对标量求导:
∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y11∂x∂y12∂x⋮∂y1n∂x∂y21∂x∂y22∂x⋮∂y2n∂x⋯⋯⋱⋯∂ym1∂x∂ym2∂x⋮∂ymn∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
\frac{\partial\mathbf{y}}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_{11}}{\partial x} & \frac{\partial y_{21}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_{m1}}{\partial x}\\ \frac{\partial y_{12}}{\partial x} & \frac{\partial y_{22}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_{m2}}{\partial x}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{1n}}{\partial x} & \frac{\partial y_{2n}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_{mn}}{\partial x} \end{bmatrix} %]]> 标量对矩阵求导:
∂y∂X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y∂x11∂y∂x21⋮∂y∂xp1∂y∂x12∂y∂x22⋮∂y∂xp2⋯⋯⋱⋯∂y∂x1q∂y∂x2q⋮∂y∂xpq⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
\frac{\partial y}{\partial\mathbf{X}}=\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_{11}} & \frac{\partial y}{\partial x_{12}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{1q}}\\ \frac{\partial y}{\partial x_{21}} & \frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{2q}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y}{\partial x_{p1}} & \frac{\partial y}{\partial x_{p2}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{pq}} \end{bmatrix} %]]>
例子1:
y=aTx
\mathbb{y} = \mathbb{a}^\mathrm{T}\mathbb{x}
其中,y∈R,a∈Rn×1,x∈Rn×1\mathbb{y} \in \mathbb{R}, \mathbb{a} \in \mathbb{R}^{n \times 1}, \mathbb{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}。
属于标量对向量求导,所以有:
∂y∂x=a
\frac{\partial y}{\partial x} = a
例子2:
y=Ax
\mathbb{y} = \mathrm{A}\mathrm{x}
其中,y∈Rm×1,A∈Rm×n,x∈Rn×1\mathbb{y} \in \mathbb{R}^{m \times 1}, \mathrm{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbb{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}。
属于向量对向量求导,所以有:
∂y∂x=AT
\frac{\partial y}{\partial x} = \mathrm{A}^\mathrm{T}
例子3:
y=Au(x)
\mathbb{y} = \mathrm{A}\mathrm{u}(x)
其中,y∈Rm×1,A∈Rm×n,u∈Rn×1,x∈Rp×1\mathbb{y} \in \mathbb{R}^{m \times 1}, \mathrm{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathrm{u} \in \mathbb{R}^{n \times 1},\mathbb{x} \in \mathbb{R}^{p \times 1}。
属于向量对向量的求导,所以有:
∂y∂x=∂u∂xAT
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}
例子4:
y=a(x)u(x)
\mathbb{y} = \mathrm{a(x)}\mathrm{u}(x)
其中,y∈Rm×1,a∈R,u∈Rm×1,x∈Rn×1\mathbb{y} \in \mathbb{R}^{m \times 1}, \mathrm{a} \in \mathbb{R}, \mathrm{u} \in \mathbb{R}^{m \times 1},\mathbb{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}。
属于向量对向量的求导,所以有:
∂y∂x=∂u∂xa+∂a∂xuT
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{a}+\frac{\partial a}{\partial x} \mathrm{u}^{\mathrm{T}}
假如已知:
a(x)u(x)=Bx=Cx
\begin{split} a(x)&=Bx\\ u(x)&=Cx \end{split}
其中,B∈R1×n,C∈Rm×n\mathrm{B} \in \mathbb{R}^{1 \times n}, \mathrm{C} \in \mathbb{R}^{m \times n} 那么,
∂y∂x=CTa+BTuT
\frac{\partial y}{\partial x} =\mathrm{C}^{\mathrm{T}}\mathrm{a}+\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\mathrm{u}^{\mathrm{T}}
例子5:
f=xTAy(x)
\mathrm{f} = \mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{Ay(x)} 那么,
∂f∂x=Ay+∂y∂xATx
\frac{\partial f}{\partial x} =Ay+\frac{\partial y}{\partial x} A^T x
其中,x∈Rm×1,y∈Rn×1,A∈Rm×n,f∈R\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{m\times1},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^{n\times1},\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n},\mathbf{f}\in\mathbb{R}。
上面的式子,当y(x)=x\mathbb{y(x)}=x时,也就是m=nm=n时。
f∂f∂x=xTAx=(A+AT)x
\begin{split} &\mathrm{f}& = \mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}\mathbf{x}\\ &\frac{\partial f}{\partial x} &= (A+A^T)x \end{split}
例子6:
f=aTxxTb,a,b,x∈Rm×1
\mathbb{f} = \mathbf{a}^{\mbox{T}}\mathbf{xx}^{\mbox{T}}\mathbf{b} ,\mathbf{a,b,x}\in\mathbb{R}^{m\times1}
则
∂f∂x=a(xTb)+b(aTx)=(abT+baT)x
\frac{\partial f}{\partial x} = a(x^Tb) + b(a^Tx) = (ab^T+ba^T)x
SVM的原形式(primary form)是:
minw,bs.t.12wTwyn(wTxn+b)≥1
\begin{split} &\min_{w,b} \quad &\frac{1}{2} w^Tw\\ &s.t. & y_n(w^Tx_n+b) \ge1 \end{split}
SVM的对偶形式(dual form)是:
minw,bmaxα≥0maxα≥0minw,b12wTw+∑n=1Nαn[1−yn(wTxn+b)]12wTw+∑n=1Nαn[1−yn(wTxn+b)]
\begin{split} &\min_{w,b} \max_{\alpha\ge 0} & \frac{1}{2} w^Tw + \sum_{n=1}^N \alpha_n [1- y_n(w^Tx_n+b)] \\ &\max_{\alpha\ge 0} \min_{w,b} &\frac{1}{2} w^Tw + \sum_{n=1}^N \alpha_n [1- y_n(w^Tx_n+b)]\end{split}
上升分别对w,bw,b求导后,得到
w∑n=1Nαnyn=∑n=1Nαnynxn=0
\begin{split} w &= \sum_{n=1}^N \alpha_n y_n x_n\\ \sum_{n=1}^N \alpha_n y_n &= 0 \end{split}
代入原式中,有
minα12∑n=1Ns.t.∑n=1Nαnynαn∑m=1NαnαmynymxmTxn−∑n=1Nαn=0≥0
\begin{split}\min_\alpha \frac{1}{2}\sum_{n=1}^N&\sum_{m=1}^N \alpha_n \alpha_m y_n y_m {x_m}^T x_n - \sum_{n=1}^N \alpha_n \\ s.t. \quad \sum_{n=1}^N \alpha_n y_n &= 0 \\ \alpha_n &\ge 0 \end{split}
这个对偶问题,可以用相应的quadprog包求解。其中,∑Nn=1∑Nm=1αnαmynymxmTxn\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^N \alpha_n \alpha_m y_n y_m {x_m}^T x_n是矩阵αTQα\mathbb{\alpha}^T \mathrm{Q}\mathbb{\alpha}。ynymxmTxny_n y_m {x_m}^T x_n是矩阵中m行n列的元素。这个元素再乘以αnαm \alpha_n \alpha_m 。 同时,这个也是wTww^Tw的内积。可以理解为把ww拆开多项,每一项分别做内积然后相加,就像多次项展开公式一样。
SVM的原形式(primary form)是:
minw,b,εs.t.12wTw+C∑n=1Nεnyn(wTxn+b)≥1−εnεn≥0
\begin{split} &\min_{w,b,\varepsilon} \quad &\frac{1}{2} w^Tw + C \sum_{n=1}^N \varepsilon_n \\ &s.t. & y_n(w^Tx_n+b) \ge1-\varepsilon_n \\ & &\varepsilon_n \ge 0 \end{split}
对偶形式是:
minα12∑n=1Ns.t.∑n=1Nαnyn0≤αn∑m=1NαnαmynymxmTxn−∑n=1Nαn=0≤C
\begin{split}\min_\alpha \frac{1}{2}\sum_{n=1}^N&\sum_{m=1}^N \alpha_n \alpha_m y_n y_m {x_m}^T x_n - \sum_{n=1}^N \alpha_n \\ s.t. \quad \sum_{n=1}^N \alpha_n y_n &= 0 \\ 0 \le\alpha_n &\le C \end{split}
原问题是:
Ein(w)=1N∑n=1N(wTx−y)2=1N∥XW−Y∥2
{E}_{in} (w) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N (w^T x -y)^2=\frac{1}{N} \Vert XW-Y\Vert ^2
当最佳值存在时:
∇Ein(w)=2NXT(XW−Y)
\nabla E_{in}(w)=\frac{2}{N} X^T(XW-Y)
所以有:
WW=(XTX)−1XTY=X†Y
\begin{split} W &= (X^TX)^{-1} X^TY\\ W &=X^\dagger Y \end{split}
首先,定义需要的函数:
θ(s)h(x)=es1+es=11+e−s=θ(wTx)
\begin{split} \theta(s) &= \frac{e^s}{1+e^s} = \frac{1}{1+e^{-s}}\\ h(x)&= \theta(w^Tx) \end{split} 接着,根据最大似然,并且利用 1−h(x)=h(−x)1-h(x) = h(-x)的性质,最大化点出现的概率:
max∏θ(ynwTxn)min∑n=1Nln(1+exp(−ynwTxn))
\begin{split} &\max \prod \theta(y_n w^T x_n)\\ &\min \sum_{n=1}^N ln(1+exp(-y_nw^Tx_n)) \end{split}
上式对ww的倒数为0,所以有:
s.t.min∑n=1Nln(1+exp(−ynwTxn))∑n=1Nθ(−ynwTxn)(−ynxn)=0
\begin{split} &\min \sum_{n=1}^N ln(1+exp(-y_nw^Tx_n)) \\ s.t. & \sum_{n=1}^N \theta(-y_n w^T x_n)(-y_nx_n) = 0 \end{split}
下面,可以利用GD或者SGD求解。
GD:
∇Ein(wt)wt+1=1N∑n=1Nθ(−ynwTxn)(−ynxn)=wt−η∇Ein(wt)
\begin{split} \nabla E_{in} (w_t) &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \theta(-y_n w^T x_n)(-y_nx_n) \\ w_{t+1}&= w_t - \eta \nabla E_{in} (w_t) \end{split}
SGD:
wt+1=wt−ηθ(−ynwTxn)(−ynxn)
w_{t+1}= w_t -\eta \theta(-y_n w^T x_n)(-y_nx_n)