基于模糊集理论的一种图像二值化算法的原理、实现效果及代码

  这是篇很古老的论文中的算法,发表与1994年,是清华大学黄良凯(Liang-kai Huang) 所写,因此国外一些论文里和代码里称之为Huang's fuzzy thresholding method。虽然古老也很简单,但是其算法的原理还是值得学习的。

     该论文的原文可从此处下载: Image thresholding by minimizing the measure of fuzziness

     该论文结合了当时处于研究热潮的模糊集理论,提出了一种具有较好效果的图像二值化算法,本文主要是对其进行简单的翻译和注释,并提供了测试代码。

     一、模糊集及其隶属度函数

     首先,我们假定X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像,而xmn代表图像X中点(m,n)处的像素灰度值,定义μx(xmn)表示该点具有某种属性的隶属度值,也就是说我们定义了一个从图像X映射到[0,1]区间的模糊子集,用专业的模糊集表达,即有:

       其中0≤μx(xmn)≤1,m=0,1,...M-1,n=0,1,...N-1。对于二值化来说,每个像素对于其所属的类别(前景或背景)都应该有很相近的关系,因此,我们可以这种关系来表示μx(xmn)的值。

       定义h(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数,对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值μ0和μ1可用下式表示:

      上述μ0和μ1,可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值,而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系,在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异相关。因此,对于点(m,n),我们提出如下的隶属度定义函数:

其中C是一个常数,该常数使得0.5≤μx(xmn)≤1。因此,对于一个给定的阈值t,图像中任何一个像素要么属于背景,要么属于前景,因此,每个像素的隶属度不应小于0.5。

     C值在实际的编程中,可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达,即 C=gmax-gmin;

  二、模糊度的度量及取阈值的原则

模糊度表示了一个模糊集的模糊程度,有好几种度量方式已经被提及了,本文仅仅使用了香农熵函数来度量模糊度。

     基于香农熵函数,一个模糊集A的熵定义为:

其中香农函数:

      扩展到2维的图像,图像X的熵可以表达为:

  因为灰度图像至多只有L个色阶,因此使用直方图式(7)可进一步写成:

    可以证明式(6)在区间[0,0.5]之间是单调递增而在[0.5,1]之间是单调递减的,并且E(X)具有以下属性:

     (1)0≤E(X)≤1 ;

      (2)如果μx(xmn)=0或者μx(xmn)=1时,E(X)具有最小值0,在本文中μx(xmn)只可能为1,此时分类具有最好的明确性。

     (3)当μx(xmn)=0.5,E(X)获得最大值1,此时的分类具有最大的不明确性。

     那么对于图像X,我们确定最好的阈值t的原则就是:对于所有的可能的阈值t,取香农熵值最小时的那个t为最终的分割阈值。

     三、编程中的技巧

     有了上述原理,其实编程也是件很容易的事情了,你可以按照你的想法去做,不过作者论文中的阐述会让代码写起来更清晰、更有效。

     首先,为了表达方便,我们定义如下一些表达式:

     根据上述表达式,可以知道S(L-1)及W(L-1)对于一副图像来说是个常量,其中S(L-1)明显就是像素的总个数。

  我们的算法步骤如下:

     (1)、计算S(L-1)、W(L-1),设置初始阈值t=gmin,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;

      (2)、 计算下面算式:

稍微有点数学基础的人都应该能看懂上述算式的推导原理。

        根据式(2)和式(3),可以知道背景和前景的区域的平均灰度值为:

   上式中int表示取整操作。

       (3)根据式(4)及式(11)计算图像的模糊度;

       (4)令t=t+1,然后重新执行步骤2,直到t=gmax-1;

        (5)找到整个过程中的最小模糊度值对应的阈值t,并作为最佳的分割阈值。

     为了稍微加快点速度,上述式4中的计算可以在步骤1中用一查找表实现。

    四、参考代码:

public static int GetHuangFuzzyThreshold(int[] HistGram)
{
    int X, Y;
    int First, Last;
    int Threshold = -1;
    double BestEntropy = Double.MaxValue, Entropy;
    //   找到第一个和最后一个非0的色阶值
    for (First = 0; First < HistGram.Length && HistGram[First] == 0; First++) ;
    for (Last = HistGram.Length - 1; Last > First && HistGram[Last] == 0; Last--) ;
    if (First == Last) return First;                // 图像中只有一个颜色
    if (First + 1 == Last) return First;            // 图像中只有二个颜色

    // 计算累计直方图以及对应的带权重的累计直方图
    int[] S = new int[Last + 1];
    int[] W = new int[Last + 1];            // 对于特大图,此数组的保存数据可能会超出int的表示范围,可以考虑用long类型来代替
    S[0] = HistGram[0];
    for (Y = First > 1 ? First : 1; Y <= Last; Y++)
    {
        S[Y] = S[Y - 1] + HistGram[Y];
        W[Y] = W[Y - 1] + Y * HistGram[Y];
    }

    // 建立公式(4)及(6)所用的查找表
    double[] Smu = new double[Last + 1 - First];
    for (Y = 1; Y < Smu.Length; Y++)
    {
        double mu = 1 / (1 + (double)Y / (Last - First));               // 公式(4)
        Smu[Y] = -mu * Math.Log(mu) - (1 - mu) * Math.Log(1 - mu);      // 公式(6)
    }

    // 迭代计算最佳阈值
    for (Y = First; Y <= Last; Y++)
    {
        Entropy = 0;
        int mu = (int)Math.Round((double)W[Y] / S[Y]);             // 公式17
        for (X = First; X <= Y; X++)
            Entropy += Smu[Math.Abs(X - mu)] * HistGram[X];
        mu = (int)Math.Round((double)(W[Last] - W[Y]) / (S[Last] - S[Y]));  // 公式18        for (X = Y + 1; X <= Last; X++)
            Entropy += Smu[Math.Abs(X - mu)] * HistGram[X];       // 公式8
        if (BestEntropy > Entropy)
        {
            BestEntropy = Entropy;      // 取最小熵处为最佳阈值
            Threshold = Y;
        }
    }
    return Threshold;
}

   代码其实还是很简单的。

   五、效果:

 针对一些图像,我们做了如下测试:

          原图                                二值图,阈值=175

   上图使用OSTU等经典算法都无法获得上图的理想效果。

 原图                                   二值图,阈值=67

    上图和其他一些二值算法的效果也是非常类似的。

*********************************作者: laviewpbt   时间: 2013.9.5    联系QQ:  33184777  转载请保留本行信息************************

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