浅谈熵与贝叶斯

熵概述

entropy,用来描述概率分布的混乱程度,描述包含的信息量。 一般认为,越混乱的系统包含的信息量越大,反之确定的概率为1的系统不包含任何信息量。

以猜数字举例,猜1到100的一个数字,采用二分法的话需要log_2(100)次,从这个角度理解,是所有信息进行二进制编码需要的位数。

更一般的,对于一个概率分布X∼P(xi=pi)X \sim P(x_i = p_i),其熵为:

熵有以下特点:

  1. P=1P=1的系统熵最小,为00。
  2. 均匀分布的系统熵最大,为H=log2(n)H = log_2(n ),反之系统越偏斜熵越小。
  3. 对于自然界中的一个系统,熵只会增加不会减少,并且过程不可逆。

关于熵的公式有以下几个:

其中,H(X,Y)H(X,Y) 可以理解成X,YX,Y的联合概率分布的熵,I(X,Y) 可以理解成增加YY的information gain以及mutual entropy

贝叶斯概述

熵与贝叶斯

熵和贝叶斯都有一个大前提——知道概率分布。但是两者侧重不一样:

  • 贝叶斯侧重于计算出新的概率分布,根据新的知识提取信息。
  • 熵侧重于keep score,量化提取信息的程度。

例子

Monty Hall

三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率?如果严格按照上述的条件,即主持人清楚地知道,哪扇门后是羊,那么答案是会。换门的话,赢得汽车的机率是2/3。

这道题的关键是,主持人的操作,改变了原来的概率分布!

从概率的观点来看,坚持观点获胜的概率是0.330.33,改变观点获胜的概率是0.670.67。

从熵的观点来看,主持人提供信息之前的熵是

主持人提供信息之后的熵是

所以主持人的information gain

占原来的熵比例是

也就是说,主持人将结果的不确定性减少了41.8%。

另一个的Monty Hall

现在将原问题稍作修改,有5个门,主持人打开没有奖的两个门。

从概率的观点来看,不改变观点获胜的概率是1/51/5,改变观点获胜的概率是2/52/5,失败的概率是2/52/5。

从熵的角度上看,原来的熵是2.322.32,主持人操作后熵是1.521.52,熵减了0.80.8,减少了34.5%34.5\%。

投掷硬币

小明喜欢和大家玩投掷硬币的游戏,30%30\%的时间他用均匀的硬币,70%70\%的时间他用不均匀的硬币。均匀硬币正反的概率都是0.50.5,不均与的硬币正反的概率分别是0.4,0.60.4,0.6。

现在投掷的第一枚是正面,那么会造成:

Null

Fair

Un-Fair

Entropy

实验前

0.3

0.7

0.8813

实验后

0.35

0.65

0.9341

本文参与腾讯云自媒体分享计划,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。

发表于

我来说两句

0 条评论
登录 后参与评论

相关文章

来自专栏新智元

【实测】谷歌翻译特朗普就职演讲,正确率如何(附技术原理解析)

【新智元导读】 美国新总统特朗普1月21日发表就职演讲,讲话内容受到国内高度关注。新智元使用谷歌翻译对特朗普就职演讲的内容进行了翻译实测,发现谷歌翻译的准确率相...

3498
来自专栏AI科技大本营的专栏

AI 技术讲座精选:数学不好,也可以学习人工智能(七)——自然语言处理的奇妙神奇之处

机器都能做到吗? 我现在是任由自动化左右吗? 未来AI会让作家失业吗? 请阅读本文。 编译 | AI100 在本系列的第五部分中发现了卷积神经网络...

3279
来自专栏数说工作室

治啰嗦利器~TF-IDF!| 文本分析

这个系列打算以文本相似度为切入点,逐步介绍一些文本分析的干货,包括分词、词频、词频向量、TF-IDF、文本匹配等等。 第一篇中,介绍了文本相似度是干什么的; 第...

3997
来自专栏华章科技

一位数学专业女生大学毕业前的感慨:不好意思,是我天真了

问自己永远有多远!!!! 已知X是非平方数,证明X开根号是无理数 TM这还需要证明 学完定与不定积分后

661
来自专栏大数据文摘

太阳系相关图,教你优雅的打开“可视化”的大门

1543
来自专栏专知

【专知荟萃05】聊天机器人Chatbot知识资料全集(入门/进阶/论文/软件/数据/专家等)(附pdf下载)

【导读】主题荟萃知识是专知的核心功能之一,为用户提供AI领域系统性的知识学习服务。主题荟萃为用户提供全网关于该主题的精华(Awesome)知识资料收录整理,使得...

5078
来自专栏大数据文摘

概率的意义:随机世界与大数法则

1934
来自专栏CDA数据分析师

译文 | 量化投资教程:投资组合优化与R实践

本文由CDA作者库成员HarryZhu翻译,并授权发布。 CDA作者库凝聚原创力量,只做更有价值的分享。 ? Harry Zhu,擅长用Python和R进行数据...

2338
来自专栏PPV课数据科学社区

【炫技】 用python对人们使用自行车情况分析与预测

这篇博客中,主要用到了pandas的数据清洗和分析工作,同时也用到了sklearn中回归预测的知识,非常的简单,但是产生了较好的预测效果。所有的数据都是可以下载...

3619
来自专栏大数据文摘

英国科学期刊选出了世界上最美丽的10个公式

1453

扫码关注云+社区