扩展卡尔曼滤波EKF与多传感器融合
Extended Kalman Filter（扩展卡尔曼滤波）是卡尔曼滤波的非线性版本。在状态转移方程确定的情况下，EKF已经成为了非线性系统状态估计的事实标准。本文将简要介绍EKF，并介绍其在无人驾驶多传感器融合上的应用。
KF与EKF
本文假定读者已熟悉KF，若不熟悉请参考卡尔曼滤波简介。
KF与EKF的区别如下：
- 预测未来：x′=Fx+u用x′=f(x,u)代替；其余F用Fj代替。
- 修正当下：将状态映射到测量的Hx′用h(x′)代替；其余H用Hj代替。
其中，非线性函数f(x,u)，h(x′)用非线性得到了更精准的状态预测值、映射后的测量值；线性变换Fj，，Hj通过线性变换使得变换后的x，z仍满足高斯分布的假设。
Fj，Hj计算方式如下：
为什么要用EKF
KF的假设之一就是高斯分布的x预测后仍服从高斯分布，高斯分布的x变换到测量空间后仍服从高斯分布。可是，假如F、H是非线性变换，那么上述条件则不成立。
将非线性系统线性化
既然非线性系统不行，那么很自然的解决思路就是将非线性系统线性化。
对于一维系统，采用泰勒一阶展开即可得到：
对于多维系统，仍旧采用泰勒一阶展开即可得到：
其中，Df(a)是Jacobian矩阵。
多传感器融合
lidar与radar
本文将以汽车跟踪为例，目标是知道汽车时刻的状态
。已知的传感器有lidar、radar。
- lidar：笛卡尔坐标系。可检测到位置，没有速度信息。其测量值
。
- radar：极坐标系。可检测到距离，角度，速度信息，但是精度较低。其测量值
，图示如下。
传感器融合步骤
步骤图如上所示，包括：
- 收到第一个测量值，对状态xx进行初始化。
- 预测未来
- 修正当下
初始化
初始化，指在收到第一个测量值后，对状态x进行初始化。初始化如下，同时加上对时间的更新。
对于radar来说，
对于radar来说，
预测未来
预测主要涉及的公式是：
需要求解的有三个变量：F、P、Q。
F表明了系统的状态如何改变，这里仅考虑线性系统，F易得：
P表明了系统状态的不确定性程度，用x的协方差表示，这里自己指定为：
Q表明了x′=Fx未能刻画的其他外界干扰。本例子使用线性模型，因此加速度变成了干扰项。x′=Fx中未衡量的额外项目v为：
v服从高斯分布N(0,Q)。
修正当下
lidar
lidar使用了KF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：
需要求解的有两个变量：H、R。
H表示了状态空间到测量空间的映射。
R表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里lidar参考如下：
radar
radar使用了EKF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：
区别与上面lidar的主要有：
- 状态空间到测量空间的非线性映射f(x)
- 非线性映射线性化后的Jacob矩阵
- radar的
状态空间到测量空间的非线性映射f(x)如下
非线性映射线性化后的Jacob矩阵Hj
R表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里radar参考如下：
传感器融合实例
多传感器融合的示例如下，需要注意的有：
- lidar和radar的预测部分是完全相同的
- lidar和radar的参数更新部分是不同的，不同的原因是不同传感器收到的测量值是不同的
- 当收到lidar或radar的测量值，依次执行预测、更新步骤
- 当同时收到lidar和radar的测量值，依次执行预测、更新1、更新2步骤
多传感器融合的效果如下图所示，红点和蓝点分别表示radar和lidar的测量位置，绿点代表了EKF经过多传感器融合后获取到的测量位置，取得了较低的RMSE。