有限等距性质RIP

参考博客：http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/44565647

压缩感知测量矩阵之有限等距性质（Restricted Isometry Property,RIP）

》定义

   不同的文献对RIP定义的表达不同，详细可参考博客中的定义，在这里选取一种自己比较能理解的定义，如下所示：

！！！重点，RIP是对哪一个矩阵的约束？

   在没参考这篇博客之前，阅读了师兄的论文，之前一直以为是对观测矩阵的约束，然而事实是RIP是对传感矩阵的约束，传感矩阵即观测矩阵与表示矩阵的乘积所构成的矩阵，又称为字典。

   压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M<<N）。x一般不是稀疏的，但在某个变换域Ψ是稀疏的，即x=Ψθ，其中θ为K稀疏的，即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ，令A=ΦΨ，则y=Aθ。

        (1) y为观测所得向量，大小为M×1

        (2) x为原信号，大小为N×1

        (3) θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示

        (4) Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N

        (5) Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N

        (6) A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N

   上式中，一般有K<<M<<N，后面三个矩阵各个文献的叫法不一，以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。

实际上RIP是针对传感矩阵A的。从定义中可知x是稀疏的，信号x一般时候都不是稀疏的，所以定义中RIP针对的矩阵不是y=Φx中的Φ，而是y=Aθ中的A，定义中的x实际上是这里的θ。

》如何理解RIP性质？

 1.能量说

   向量的2范数的平方就是信号的能量，换成常见的公式：

   这个公式可以数字信号处理教材中讲信号分类的章节找到，实际上将信号看成是电压信号或电流信号，这是在单位电阻上的能量（即u2t/R或i2t/R，R=1Ω，再离散即可）。

   这里将中文定义一中的RIP性质的不等式按刚才规定好的一套符号重新写出：

   RIP其实可以看成刻画一个矩阵和标准正交阵的相似程度。其对于向量做变化后的 L2 能量（范数平方）相较于原向量的能量的变化不超过RIP。

   其实取极限当δ=0时（RIP要求0<δ<1），RIP的不等式实际上表示的是观测所得向量y的能量等于信号x的能量，在线性代数中所讲的正交变换也具有这种性质，也称为等距变换（把信号将为二维或三维时2范数的平方可形象的理解为到原点的距离），当然这里的变换因为传感矩阵A不可能是正交矩阵（不是方阵），但当极限δ=0时也能保持能量相等（也可以称为等距吧），而RIP要求0<δ<1，所以不可能等距，所以就称为有限等距性质吧。

   2.唯一映射说

RIP性质（有限等距性质）保证了观测矩阵不会把两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中（保证原空间到稀疏空间的一一映射关系），要求从观测矩阵中抽取的每M个列向量构成的矩阵是非奇异的。

文献[李树涛，魏丹.压缩传感综述[J]. 自动化学报，2009，35(11)：1369-1377.]中提到：