强化学习系列之五:价值函数近似

目前，我们已经介绍了一些强化学习的算法，但是我们无法在实际问题中运用这些算法。

为什么呢？因为算法估算价值函数 (v(s)) 或者 (q(s,a))，保存这些价值函数意味着保存所有状态。而实际问题中，状态的数目非常巨大，遍历一遍的事情就别想了。比如，围棋的状态总数是(3^{19})，听说比宇宙的总原子数还多，23333。解决这个问题的方法是抽特征。对于一个状态 s, 我们抽取一些特征 (\hat{\pmb{s}})，将这些特征代替状态作为价值函数的输入，即 (v(\hat{\pmb{s}})) 或者 (q(\hat{\pmb{s}},a))。这种方法我们称之为价值函数近似。价值函数近似解决了海量状态之后，我们才能实用强化学习算法。

reinforcement learning

1. 价值函数参数化

我们又要以机器人找金币为场景介绍价值函数近似。机器人从任意一个状态出发寻找金币，找到金币则获得奖励 1，碰到海盗则损失 1。找到金币或者碰到海盗，机器人都停止。衰减因子 (\gamma) 设为 0.8。

mdp

机器人找金币只有 9 个状态，但为了介绍价值函数近似，我们就假装状态非常多。我们以四个方向是否有墙作为状态特征，比如状态 1 的特征为 (\hat{s}=[1,0,0,1]), 分别表示北 (东、南、西) 方向有 (没有、没有、有) 墙。状态太多的情况下，模型无关的强化学习算法比较有用。模型无关的强化学习算法的工作对象是 (q(s,a)) (有状态特征之后为 (q(\hat{s},a))), 因此只有状态的特征是不够的。为此我们设定 (\pmb{f(\hat{s},a)}) 特征向量一共分为 |A| 部分，分别对应不同的动作。在 (\pmb{f(\hat{s},a)}) 特征向量, a 动作部分放上 (\hat{s}) 特征，其他动作部分全部置为 0。比如机器人找金币场景，状态 1 采取向北动作的特征向量 (\pmb{f(1,’n’)}) 如下。

(1)

\begin{eqnarray*} \pmb{f(1,'n')} = [\underbrace{1, 0, 0, 1,}<em>{a='n'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0,}</em>{a='e'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0,}<em>{a='s'} \underbrace{0, 0 , 0 , 0}</em>{a='w'}]^{T} \nonumber \end{eqnarray*}

搞出特征来了，接下来就用参数计算价值了。我们设定参数向量(\pmb{w})，然后用特征向量和权重向量的内积估计状态-动作价值。

(2)

\begin{eqnarray*} q(\hat{s},a) = \pmb{f(\hat{s},a)}^{T} \pmb{w} \nonumber \end{eqnarray*}

这时强化学习其实就是学习参数 (\pmb{w}) 的值，使得参数化的 q 值 (q(\hat{s},a)) 尽量接近最优策略的 q 值 (q^{}(s,a))，优化目标如下所示。

(3)

\begin{eqnarray*} J(\pmb{w}) = min \sum_{s \in S, a \in A}{ q(\hat{s},a) - q^{</em>}(s,a)}^2 \nonumber \end{eqnarray*}

我们用梯度下降法求解这个优化目标。梯度下降法首先要计算梯度 (\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}} )。直接求导可得梯度。

(4)

\begin{eqnarray*} \frac{\partial J}{\partial \pmb{w}} &=& \sum_{s \in S, a \in A}{ q(\hat{s},a) - q^{<em>}(s,a) }\pmb{f(\hat{s},a)} \nonumber \end{eqnarray*}

但是状态很多，我们不可能真的按照上面的公式计算梯度 (上面的公式得遍历所有的状态)。实际的方法是让系统探索环境，遇到状态特征 (\hat{s}) 和采取动作 a, 计算梯度然后更新参数。这个类似随机梯度下降。

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a} &=& { q(\hat{s},a) - q^{</em>}(s,a) }\pmb{f(\hat{s},a)} \nonumber \
\Delta \pmb{w} &=& -\alpha \frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}_{\hat{s},a} \nonumber 
\end{eqnarray*}

*** Error message:
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leading text: \Delta \pmb{w} &=&

参数更新的代码如下所示。

#qfunc 是最优策略的 q 值
#alpha 是学习率
def update(policy, f, a, qfunc, alpha):
    pvalue        = policy.qfunc(f, a);
    error         = pvalue - tvalue; 
    fea           = policy.get_fea_vec(f, a);
    policy.theta -= alpha * error * fea; 

2. 强化学习算法

看了上面，你可以会问。计算 (\frac{\partial J}{\partial \pmb{w}}{\hat{s},a}) 需要最优策略的 q 值，那我们上哪里去找这个值呢? 这是就是该强化学习算法上场了。我们回想一下三个模型无关的强化学习算法，都是让系统探索环境，探索时更新状态-动作价值。在更新时，MC Control 认为该样本的预期收益 (g_t) 为最优策略的 q 值，让状态-动作价值 q(s,a) 尽量接近。SARSA 认为 (r+\gamma q(s,a)) 为最优策略的 q 值，Q Learning 认为 (r+argmax{a’}{\gamma q(s’,a’)})。

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{eqnarray*}
qfunc&=&g_t \quad &MC Control \nonumber \
qfunc&=&r+\gamma q(\hat{s},a) \quad &SARSA \nonumber \
qfunc&=&r+max_{a'}{\gamma q(\hat{s}',a')} \quad &Q Learning \nonumber 
\end{eqnarray*}

*** Error message:
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leading text: qfunc&

有了这些想法，我们只需要简单地改变下强化学习算法的更新部分，就可以引入价值函数近似了。新的更新规则是将算法认为的最优策略的 q 值输入参数更新模块。觉个例子，价值函数近似之后的 Q Learning 算法代码如下所示。

def qlearning(grid, policy, num_iter1, alpha):
    actions = grid.actions;
    gamma   = grid.gamma;
    for i in xrange(len(policy.theta)):
        policy.theta[i] = 0.1

    for iter1 in xrange(num_iter1):
        f = grid.start();   
        #从一个随机非终止状态开始， f 是该状态的特征
        a = actions[int(random.random() * len(actions))]
        t = False
        count = 0

        while False == t and count < 100:
            t,f1,r      = grid.receive(a)
            #t  表示是否进入终止状态
            #f1 是环境接受到动作 a 之后转移到的状态的特征。
            #r  表示奖励

            qmax = -1.0
            for a1 in actions:
                pvalue = policy.qfunc(f1, a1);
                if qmax < pvalue:  qmax = pvalue;
            update(policy, f, a, r + gamma * qmax, alpha);

            f           = f1
            a           = policy.epsilon_greedy(f)
            count      += 1   
    return policy;

3. 做个实验

我们用机器人找金币做个实验吧。实验中，我们用了两种特征。一种特征是强特征，也就是上述四个方向是否有墙特征。另一种特征是 id 特征，特征向量长度为状态个数，第 i 个状态的特征向量的第 i 位为 1，其他位置为 0。实验对比了三种算法: MC Control, SARSA 和 Q Learning。(\epsilon-)贪婪策略的 (\epsilon) 设为 0.2， 学习率(\alpha) 设为 0.001。和上文一样，算法计算得到的状态(特征)-动作价值和最优策略的状态-动作价值之间的平方差，当做评价指标。实验的结果如下图所示。

value approximation experiment

这个实验结果告诉我们的第一件事就是选好特征。墙特征比 id 特征差。状态2 和 4 都是南北方向有墙，墙特征是一样的，会造成混淆。id 特征就没有这个问题。表现在实验结果上，MC Control 和 SARSA 在墙特征上都不停震荡，同时三种算法在墙特征的表现都不如其在 id 特征上的表现。

Q Learning 一如既往地表现出优越的效果。在墙特征上， Q Learning 不仅没有像 MC Control 和 SARSA 一样震荡，而且效果远远好于它们两者。在 id 特征上， Q Learning 完美拟合了最优策略的状态-动作价值。

4. 总结

实际问题中，状态的数目非常多，因此基于状态-动作价值的强化学习算法不适用。为了解决这个问题，人们提出了价值函数近似的方法。价值函数近似用特征表示状态或者状态-动作，用参数向量计算价值。价值近似之后，我们才算能把强化学习算法应用在实际问题上。本文代码可以在 Github 上找到，欢迎有兴趣的同学帮我挑挑毛病。强化学习系列的下一篇文章将介绍基于梯度的强化学习。