在上一篇《9.动态规划(2)——子集和问题》中,谈到了什么是子集和问题,以及实现。背包问题实际也是子集和问题的一种,不过背包问题不是“判断问题”而是一个“最优问题”。而背包问题实际上又分为“0-1背包”,“完全背包”,本文对“0-1背包”进行讲解。
问题:有n个物品,每个物品的重量为weigh[i],每个物品所对应的价值为price[i],现在有一个背包,背包所能承受的重量为W,问背包能装下的物品总价值最大是多少?
定义s[i, j]表示前i个物品的总价值,j为背包的承重量。当j = W或者最接近于W且小于W时,此时就是问题的解。
对于“动态规划”的关键就是要找到其递推公式,递推公式往往会将一个问题以某个值为边界拆分为两部分。背包问题的求解是子集和问题的最优化求解,在《9.动态规划(2)——子集和问题》中分析过递推公式的推导工程,在这里重新分析推导。
分析:s[i, j]表示前i个物品,如果前i - 1个物品价值已经达到背包承重量j的极限,那么第i个物品就不能放进去(j - wi < 0),此时就可表示s[i, j] = s[i - 1, j]。但如果第i - 1个物品未达到背包承重量j的极限(j - wi >= 0),此时我们计算前i - 1个物品的价值就是s[i - 1, j - wi],此时加上第i个物品的价值就可以表示为s[i - 1, j - wi] + pi。
综上得到递推公式:
举例:物品的重量集合w = (2, 4, 1, 5, 3),物品的价格集合 p = (4, 5, 19, 3, 2),背包重量6。通过上面的递推公式,将这个背包问题利用矩阵来表示,第6列的最大值即为背包重量为6时的最大价值。
Java
1 package com.algorithm.dynamicprogramming;
2
3 import java.util.Arrays;
4
5 /**
6 * 0-1背包问题
7 * | s[i - 1, j] (j - wi < 0)
8 * s[i, j] = | | s[i - 1, j]
9 * | Max | (j - wi >= 0)
10 * | | s[i - 1, j -wi] + pi
11 * Created by yulinfeng on 7/3/17.
12 */
13 public class KnapsackProblem {
14 public static void main(String[] args) {
15 int[] weight = {2, 4, 1, 5, 2};
16 int[] price = {4, 5, 19, 3, 2};
17 int knapsackWeight = 6;
18 int value = knapsackProblem(weight, price, knapsackWeight);
19 System.out.println(value);
20 }
21
22 /**
23 * 动态规划求解0-1背包问题
24 * @param weight 物品重量
25 * @param price 物品价值
26 * @param knapsackWeight 背包承重量
27 * @return
28 */
29 private static int knapsackProblem(int[] weight, int[] price, int knapsackWeight) {
30 int row = weight.length + 1;
31 int col = knapsackWeight + 1;
32 int[][] solutionMatrix = new int[row][col];
33 int[] values = new int[row];
34 values[0] = 0;
35 for (int i = 0; i < row; i++) {
36 solutionMatrix[i][0] = 0;
37 }
38 for (int j = 0; j < col; j++) {
39 solutionMatrix[0][j] = 0;
40 }
41
42 for (int i = 1; i < row; i++) {
43 for (int j = 1; j < col; j++) {
44 solutionMatrix[i][j] = solutionMatrix[i - 1][j];
45 if (j - weight[i - 1] >= 0 && solutionMatrix[i - 1][j - weight[i - 1]] + price[i - 1] > solutionMatrix[i][j]) {
46 solutionMatrix[i][j] = solutionMatrix[i - 1][j - weight[i - 1]] + price[i - 1];
47 }
48 }
49 values[i] = solutionMatrix[i][col - 1];
50 }
51 Arrays.sort(values);
52 return values[values.length - 1];
53 }
54 }
Python3
1 def knapsack_problem(weight, price, knapsackWeight):
2 '''
3 0-1背包问题
4 | s[i - 1, j] (j - wi < 0)
5 s[i, j] = | | s[i - 1, j]
6 | Max | (j - wi >= 0)
7 | | s[i - 1, j -wi] + pi
8
9 Created by yulinfeng on 7/3/17.
10 '''
11 row = len(weight) + 1
12 col = len(price) + 1
13 solutionMatrix = [[0 for c in range(col)] for r in range(row)]
14 values = [0] * row
15 for i in range(row):
16 solutionMatrix[0][i] = 0
17 for j in range(col):
18 solutionMatrix[j][0] = 0
19 for m in range(1, row):
20 for n in range(1, col):
21 solutionMatrix[m][n] = solutionMatrix[m - 1][n]
22 if n - weight[m - 1] >= 0 and solutionMatrix[m - 1][n - weight[m - 1]] + price[m - 1] > solutionMatrix[m][n]:
23 solutionMatrix[m][n] = solutionMatrix[m - 1][n - weight[m - 1]] + price[m - 1]
24 values[m] = solutionMatrix[m][col - 1]
25
26 values.sort()
27 return values[len(values) - 1]
28
29 weight = (2, 4, 1, 5, 2)
30 price = (4, 5, 19, 3, 2)
31 knapsackWeight = 6
32 value = knapsack_problem(weight, price, knapsackWeight)
33 print(value)