平衡二叉树,是一个方便查找的树,树的左子树深度与右子树的深度的差总(BF)是在+1,0,-1之中。
随着树的建立,插入,树都会自动的进行调整,使得其满足上面的条件。
1、+1表示左子树的深度比右子树的深度多1.
2、0 表示左子树的深度与右子树的深度相同。
3、-1表示左子树的深度比右子树神的小1.
因此,如果一个数据插入到情况1中,也就是说,数据插入到左子树中,左子树的深度将会比右子树多2.此时,需要调整树的结构。如果插入尾端节点的左子树中,则这个尾端节点相应的BF值,就变成+1.相反,如果插入到它的右子树中,BF值就会变成-1.这个调整也会返回到上面一层的节点,再次进行调整。
这里相应的介绍一个左旋,与右旋的基本知识。
比如下图
在进行左旋时,将会发生下面的情况:
void L_Rotate(BiTree *p){
//传入根节点进行右旋
BiTree R;
R = (*p)->rchild;
(*p)->rchild = R->lchild;
R->lchild = (*p);
(*p) = R;
}
最后子树将会变成
相应的右旋,则运行下面的代码
void R_Rotate(BiTree *p){
//传入一个根节点,进行右旋。定义它的左子树节点为L,根节点的左子树变成L的右子树,L的右子树变成根节点。最后把根节点指针指向L
BiTree L;
L = (*p)->lchild;
(*p)->lchild = L->rchild;
L->rchild = (*p);
(*p) = L;
}
了解左旋与右旋后,就该进行树的调整介绍了。
这里有一个技巧:
1 如果插入的元素插入到左子树,使得左子树的BF值发生改变。如果左子树节点的BF值,与根节点的BF值相同符号,则进行一次右旋,即可。但是如果是不同符号,则要进行双旋(即先进性左旋,使得子树高度加一,在进行右旋,平衡子树)
2 如果插入到右子树,也观察符号,相同,则进行一次右旋,如果不同,则进行双旋。
代码如下
void LeftBalance(BiTree *T){
BiTree L,Lr;
L = (*T)->lchild;
switch(L->bf){
case LH://符号与根相同,因此进行右旋一次,就行了
(*T)->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH://符号与根不同,要进行双旋;对子树进行一次旋转,再对T进行一次旋转
Lr = L->rchild;
switch(Lr->bf){
case LH: //如果是左子数高,那么对根节点赋值为-1,因为没有右子树,根节点将会出现左子树为空的情况;左子树旋转后,会平衡为EH
(*T)->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH://如果为平衡,那么根节点和左子树节点都为平衡EH
(*T)->bf = L->bf = EH;
break;
case RH://如果右子树高,那么对根节点赋值为0,对左子树赋值为+1,因为进行旋转后,左子树节点的右子树会空。根节点EH
(*T)->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild);
R_Rotate(T);
}
}
void RightBalance(BiTree *T){
BiTree R,Rl;
R = (*T)->rchild;
switch(R->bf){
case RH:
(*T)->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:
Rl = R->lchild;
switch(Rl->bf){
case LH: //如果是左子数高,那么对根节点赋值为-1,因为没有右子树,根节点将会出现左子树为空的情况;左子树旋转后,会平衡为EH
(*T)->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
case EH://如果为平衡,那么根节点和左子树节点都为平衡EH
(*T)->bf = R->bf = EH;
break;
case RH://如果右子树高,那么对根节点赋值为0,对左子树赋值为+1,因为进行旋转后,左子树节点的右子树会空。根节点EH
(*T)->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
}
Rl->bf = EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild);
L_Rotate(T);
}
}
插入时,要遍历到子树的最底层,进行分析,逐层的改变BF值,进行平衡。知道标记taller为0时,表示对深度不发生改变,就不需要向上遍历了。
int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){
if(!(*T)){
(*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data = e;
(*T)->lchild = NULL;
(*T)->rchild = NULL;
(*T)->bf = EH;
*taller = 1;
}else{
if(e == (*T)->data){ //存在相同节点
*taller = 0;
return 0;
}
if(e < (*T)->data){
if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
return 0;
if(taller){
switch((*T)->bf){
case LH:
LeftBalance(T);
*taller = 0;
break;
case EH:
(*T)->bf = LH;
*taller = 1;
break;
case RH:
(*T)->bf = EH;
*taller = 0;
break;
}
}
}else{
if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
return 0;
if(taller){
switch((*T)->bf){
case LH:
(*T)->bf = 0;
*taller = 0;
break;
case EH:
(*T)->bf=RH;
*taller = 1;
break;
case RH:
RightBalance(T);
*taller = 0;
break;
}
}
}
}
return 1;
}
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define LH +1
#define EH 0
#define RH -1
typedef struct BiTNode{
int data;
int bf;
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;
void R_Rotate(BiTree *p);
void L_Rotate(BiTree *p);
void LeftBalance(BiTree *p);
void RightBalance(BiTree *T);
int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller);
void InOrderTree(BiTree b);
int main(){
int i;
int a[10]={4,7,9,1,2,3,0,5,6,8};
BiTree T = NULL;
int *taller = (int *)malloc(sizeof(int));
for(i=0;i<10;i++){
insertAVL(&T,a[i],taller);
InOrderTree(T);
printf("\n");
}
getchar();
}
void InOrderTree(BiTree b){
if( b== NULL)
return;
InOrderTree(b->lchild);
printf("%d ",b->data);
InOrderTree(b->rchild);
}
int insertAVL(BiTree *T,int e, int *taller){
if(!(*T)){
(*T)=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data = e;
(*T)->lchild = NULL;
(*T)->rchild = NULL;
(*T)->bf = EH;
*taller = 1;
}else{
if(e == (*T)->data){ //存在相同节点
*taller = 0;
return 0;
}
if(e < (*T)->data){
if(!insertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
return 0;
if(taller){
switch((*T)->bf){
case LH:
LeftBalance(T);
*taller = 0;
break;
case EH:
(*T)->bf = LH;
*taller = 1;
break;
case RH:
(*T)->bf = EH;
*taller = 0;
break;
}
}
}else{
if(!insertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
return 0;
if(taller){
switch((*T)->bf){
case LH:
(*T)->bf = 0;
*taller = 0;
break;
case EH:
(*T)->bf=RH;
*taller = 1;
break;
case RH:
RightBalance(T);
*taller = 0;
break;
}
}
}
}
return 1;
}
void R_Rotate(BiTree *p){
//传入一个根节点,进行右旋。定义它的左子树节点为L,根节点的左子树变成L的右子树,L的右子树变成根节点。最后把根节点指针指向L
BiTree L;
L = (*p)->lchild;
(*p)->lchild = L->rchild;
L->rchild = (*p);
(*p) = L;
}
void L_Rotate(BiTree *p){
//传入根节点进行右旋
BiTree R;
R = (*p)->rchild;
(*p)->rchild = R->lchild;
R->lchild = (*p);
(*p) = R;
}
void LeftBalance(BiTree *T){
BiTree L,Lr;
L = (*T)->lchild;
switch(L->bf){
case LH://符号与根相同,因此进行右旋一次,就行了
(*T)->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH://符号与根不同,要进行双旋;对子树进行一次旋转,再对T进行一次旋转
Lr = L->rchild;
switch(Lr->bf){
case LH: //如果是左子数高,那么对根节点赋值为-1,因为没有右子树,根节点将会出现左子树为空的情况;左子树旋转后,会平衡为EH
(*T)->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH://如果为平衡,那么根节点和左子树节点都为平衡EH
(*T)->bf = L->bf = EH;
break;
case RH://如果右子树高,那么对根节点赋值为0,对左子树赋值为+1,因为进行旋转后,左子树节点的右子树会空。根节点EH
(*T)->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild);
R_Rotate(T);
}
}
void RightBalance(BiTree *T){
BiTree R,Rl;
R = (*T)->rchild;
switch(R->bf){
case RH:
(*T)->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:
Rl = R->lchild;
switch(Rl->bf){
case LH: //如果是左子数高,那么对根节点赋值为-1,因为没有右子树,根节点将会出现左子树为空的情况;左子树旋转后,会平衡为EH
(*T)->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
case EH://如果为平衡,那么根节点和左子树节点都为平衡EH
(*T)->bf = R->bf = EH;
break;
case RH://如果右子树高,那么对根节点赋值为0,对左子树赋值为+1,因为进行旋转后,左子树节点的右子树会空。根节点EH
(*T)->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
}
Rl->bf = EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild);
L_Rotate(T);
}
}