人工智能AI(5):线性代数之矩阵、线性空间

在前面的篇幅中,我们简单的介绍过矩阵的定义,按照原计划本来,今天准备写特征分解以及奇异值分解,但是发现这其中涉及到比较多的矩阵相关的知识,所以在讨论这些问题之前,我们先来学习一下矩阵以及线性空间、线性变换等矩阵的知识。

在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合,详细的定义可以参考人工智能AI(2):线性代数之标量、向量、矩阵、张量。

1 矩阵运算

矩阵运算在科学计算中非常重要 ,而矩阵的基本运算包括矩阵的加法,减法,数乘,转置,共轭和共轭转置。

加法

矩阵的加法满足下列运算律(A,B,C都是同型矩阵):

应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法 。

减法

数乘

矩阵的数乘满足以下运算律:

矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算 。

转置

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵 ,这一过程称为矩阵的转置

矩阵的转置满足以下运算律:

乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵,它们的乘积C是一个m×p矩阵

,它的一个元素:并将此乘积记为:

例如:

矩阵的乘法满足以下运算律:

结合律:

左分配律:

右分配律:

矩阵乘法不满足交换律。

2 线性空间

线性空间又称为向量空间。

假设是两个长度不等的相交的向量(不在一条直线),则整个二维平面上的点,显然都可以通过的方式来表示。

用数学的语言:就是所张成的线性空间。

如果在一条直线上,则那么就只能张成一维空间。

如果都是原点,那么就只能张成零维空间了,也就是点。

直观上可以理解为给元素装配了加法和数乘的非空集合。

完成定义我们拆分这句话就成:

1)非空集合

首先它是一个非空集合,我们记为

2)给元素装配加法(元素与元素加法)

其次我们给中的元素装配上加法运算,满足4个基本属性

1, 加法结合律:u +(v + w) = (u + v)+ w

2, 加法交换律:u + v=v + u

3, 有单位元:存在一个元素e,使得对任意u∈,都有u +e=u,这里e其实是零元一般用表示。

4, 有逆元:对任意uvu + v=0

3)给元素装配数乘(数值与元素乘法)

然后给中的元素装配上数乘,满足数乘的4个基本属性(选择一个数域,记a,b为其中任意数值)

1. 数乘对元素加法满足分配律:a·(v + w) =a·v +a·w.

2. 数乘对域加法(数值与数值加法)满足分配律:(a+b)·v=a·v +b·v.

3. 数乘与域乘法(数值与数值乘法)相兼容:a(b·v) = (ab)·v

4. 数乘有单位元:存在一个数值, 使得对于任意,都有·v=v

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