【数据挖掘】主题模型——LDA比较通俗的介绍

一、主题模型

要介绍LDA，首先说说主题模型（Topic Model）的概念。主题模型是一种生成式模型，而且是通过主题来生成的。就是说，我们认为一篇文档的每个词都是通过以一定概率选择了某个主题，并从这个主题中以一定概率选择某个词语这样一个过程得到的。

何谓“主题”呢？其含义就是诸如一篇文章、一段话、一个句子所表达的中心思想，只不过不同的是，从统计模型的角度来说，我们是用一个特定的词频分布来刻画主题的，不同主题的词相同，但是词频不同。一篇文档一般有多个主题，这样，我们就可以认为，一篇文档是有多个主题来生成的。

举例：如果我们要生成一篇文档，它里面的每个词语出现的概率为：

这个概率公式可以用矩阵表示：

其中”文档-词语”矩阵表示每个文档中每个单词的词频，即出现的概率；”主题-词语”矩阵表示每个主题中每个单词的出现概率；”文档-主题”矩阵表示每个文档中每个主题出现的概率。

给定一系列文档，通过对文档进行分词，计算各个文档中每个单词的词频就可以得到左边这边”文档-词语”矩阵。主题模型就是通过左边这个矩阵进行训练，学习出右边两个矩阵。

主题模型有两种：pLSA（ProbabilisticLatent Semantic Analysis）和LDA（Latent Dirichlet Allocation），下面主要介绍LDA。

二、LDA介绍

如何生成M份包含N个单词的文档，LatentDirichlet Allocation这篇文章介绍了3方法：

方法一：unigram model

该模型使用下面方法生成1个文档：

For each ofthe N words w_n: Choose a word w_n ～ p(w);

其中N表示要生成的文档的单词的个数，w_n表示生成的第n个单词w，p(w)表示单词w的分布，可以通过语料进行统计学习得到，比如给一本书，统计各个单词在书中出现的概率。

这种方法通过训练语料获得一个单词的概率分布函数，然后根据这个概率分布函数每次生成一个单词，使用这个方法M次生成M个文档。其图模型如下图所示：

方法二：Mixture of unigram

unigram模型的方法的缺点就是生成的文本没有主题，过于简单，mixture of unigram方法对其进行了改进，该模型使用下面方法生成1个文档：

Choose a topicz ～ p(z);

For each ofthe N words w_n:

Choose a word w_n ～ p(w|z);

其中z表示一个主题，p(z)表示主题的概率分布，z通过p(z)按概率产生；N和w_n同上；p(w|z)表示给定z时w的分布，可以看成一个k×V的矩阵，k为主题的个数，V为单词的个数，每行表示这个主题对应的单词的概率分布，即主题z所包含的各个单词的概率，通过这个概率分布按一定概率生成每个单词。

这种方法首先选选定一个主题z，主题z对应一个单词的概率分布p(w|z)，每次按这个分布生成一个单词，使用M次这个方法生成M份不同的文档。其图模型如下图所示：

从上图可以看出，z在w所在的长方形外面，表示z生成一份N个单词的文档时主题z只生成一次，即只允许一个文档只有一个主题，这不太符合常规情况，通常一个文档可能包含多个主题。

方法三：LDA(Latent Dirichlet Allocation)

LDA方法使生成的文档可以包含多个主题，该模型使用下面方法生成1个文档：

Chooseparameter θ ～ p(θ);

For each ofthe N words w_n:

Choose a topic z_n ～ p(z|θ);

Choose a word w_n ～ p(w|z);

其中θ是一个主题向量，向量的每一列表示每个主题在文档出现的概率，该向量为非负归一化向量；p(θ)是θ的分布，具体为Dirichlet分布，即分布的分布；N和w_n同上；z_n表示选择的主题，p(z|θ)表示给定θ时主题z的概率分布，具体为θ的值，即p(z=i|θ)= θ_i；p(w|z)同上。

这种方法首先选定一个主题向量θ，确定每个主题被选择的概率。然后在生成每个单词的时候，从主题分布向量θ中选择一个主题z，按主题z的单词概率分布生成一个单词。其图模型如下图所示：

从上图可知LDA的联合概率为：

把上面的式子对应到图上，可以大致按下图理解：

从上图可以看出，LDA的三个表示层被三种颜色表示出来：

1. corpus-level（红色）：α和β表示语料级别的参数，也就是每个文档都一样，因此生成过程只采样一次。

2.document-level（橙色）：θ是文档级别的变量，每个文档对应一个θ，也就是每个文档产生各个主题z的概率是不同的，所有生成每个文档采样一次θ。

3. word-level（绿色）：z和w都是单词级别变量，z由θ生成，w由z和β共同生成，一个 单词w对应一个主题z。

通过上面对LDA生成模型的讨论，可以知道LDA模型主要是从给定的输入语料中学习训练两个控制参数α和β，学习出了这两个控制参数就确定了模型，便可以用来生成文档。其中α和β分别对应以下各个信息：

α：分布p(θ)需要一个向量参数，即Dirichlet分布的参数，用于生成一个主题θ向量；

β：各个主题对应的单词概率分布矩阵p(w|z)。

把w当做观察变量，θ和z当做隐藏变量，就可以通过EM算法学习出α和β，求解过程中遇到后验概率p(θ,z|w)无法直接求解，需要找一个似然函数下界来近似求解，原文使用基于分解（factorization）假设的变分法（varialtional inference）进行计算，用到了EM算法。每次E-step输入α和β，计算似然函数，M-step最大化这个似然函数，算出α和β，不断迭代直到收敛。

参考文献：David M. Blei, AndrewY. Ng, Michael I. Jordan, LatentDirichlet Allocation, Journal of Machine Learning Research 3, p993-1022,2003