哈夫曼树和哈夫曼编码

　　在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

　　哈夫曼编码步骤：

• • 一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
  • 二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
  • 三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
  • 四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

　　eg：对于这样的8个节点：5  29  7  8  14  23  3  11，我们进行哈夫曼编码的过程如下：

Huffman 编码树

　　例：D={A,B…, M} 　　　　W={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41}，则对应的哈夫曼树如下：

　　然后，我们利用Huffman算法构造出的各字符的二进制编码为（节点的左子树编码为0，右子树编码为1）：

A: 1011110 B: 1011111 C: 101110 D: 10110   E: 0100 F: 0101 G: 1010 H: 000   I: 001 J: 011 K: 100 L2: 110  M: 111