Logistic回归基础篇之梯度上升算法

作者:崔家华

编辑:赵一帆

一、前言

本文从Logistic回归的原理开始讲起,补充了书上省略的数学推导。本文可能会略显枯燥,理论居多,Sklearn实战内容会放在下一篇文章。自己慢慢推导完公式,还是蛮开心的一件事。

二、Logistic回归与梯度上升算法

Logistic回归是众多回归算法中的一员。回归算法有很多,比如:线性回归、Logistic回归、多项式回归、逐步回归、令回归、Lasso回归等。我们常用Logistic回归模型做预测。通常,Logistic回归用于二分类问题,例如预测明天是否会下雨。当然它也可以用于多分类问题,不过为了简单起见,本文暂先讨论二分类问题。首先,让我们来了解一下,什么是Logistic回归。

1、Logistic回归

假设现在有一些数据点,我们利用一条直线对这些点进行拟合(该线称为最佳拟合直线),这个拟合过程就称作为回归,如下图所示:

Logistic回归是回归的一种方法,它利用的是Sigmoid函数阈值在[0,1]这个特性。Logistic回归进行分类的主要思想是:根据现有数据对分类边界线建立回归公式,以此进行分类。其实,Logistic本质上是一个基于条件概率的判别模型(Discriminative Model)。

所以要想了解Logistic回归,我们必须先看一看Sigmoid函数 ,我们也可以称它为Logistic函数。它的公式如下:

整合成一个公式,就变成了如下公式:

下面这张图片,为我们展示了Sigmoid函数的样子。

z是一个矩阵,θ是参数列向量(要求解的),x是样本列向量(给定的数据集)。θ^T表示θ的转置。g(z)函数实现了任意实数到[0,1]的映射,这样我们的数据集([x0,x1,…,xn]),不管是大于1或者小于0,都可以映射到[0,1]区间进行分类。hθ(x)给出了输出为1的概率。比如当hθ(x)=0.7,那么说明有70%的概率输出为1。输出为0的概率是输出为1的补集,也就是30%。

如果我们有合适的参数列向量θ([θ0,θ1,…θn]^T),以及样本列向量x([x0,x1,…,xn]),那么我们对样本x分类就可以通过上述公式计算出一个概率,如果这个概率大于0.5,我们就可以说样本是正样本,否则样本是负样本。

举个例子,对于”垃圾邮件判别问题”,对于给定的邮件(样本),我们定义非垃圾邮件为正类,垃圾邮件为负类。我们通过计算出的概率值即可判定邮件是否是垃圾邮件。

那么问题来了!如何得到合适的参数向量θ?

根据sigmoid函数的特性,我们可以做出如下的假设:

上式即为在已知样本x和参数θ的情况下,样本x属性正样本(y=1)和负样本(y=0)的条件概率。理想状态下,根据上述公式,求出各个点的概率均为1,也就是完全分类都正确。但是考虑到实际情况,样本点的概率越接近于1,其分类效果越好。比如一个样本属于正样本的概率为0.51,那么我们就可以说明这个样本属于正样本。另一个样本属于正样本的概率为0.99,那么我们也可以说明这个样本属于正样本。但是显然,第二个样本概率更高,更具说服力。我们可以把上述两个概率公式合二为一:

合并出来的Cost,我们称之为代价函数(Cost Function)。当y等于1时,(1-y)项(第二项)为0;当y等于0时,y项(第一项)为0。为了简化问题,我们对整个表达式求对数,(将指数问题对数化是处理数学问题常见的方法):

这个代价函数,是对于一个样本而言的。给定一个样本,我们就可以通过这个代价函数求出,样本所属类别的概率,而这个概率越大越好,所以也就是求解这个代价函数的最大值。既然概率出来了,那么最大似然估计也该出场了。假定样本与样本之间相互独立,那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积,再将公式对数化,便可得到如下公式:

其中,m为样本的总数,y(i)表示第i个样本的类别,x(i)表示第i个样本,需要注意的是θ是多维向量,x(i)也是多维向量。

综上所述,满足J(θ)的最大的θ值即是我们需要求解的模型。

怎么求解使J(θ)最大的θ值呢?因为是求最大值,所以我们需要使用梯度上升算法。如果面对的问题是求解使J(θ)最小的θ值,那么我们就需要使用梯度下降算法。面对我们这个问题,如果使J(θ) := -J(θ),那么问题就从求极大值转换成求极小值了,使用的算法就从梯度上升算法变成了梯度下降算法,它们的思想都是相同的,学会其一,就也会了另一个。本文使用梯度上升算法进行求解。

2、梯度上升算法

说了半天,梯度上升算法又是啥?J(θ)太复杂,我们先看个简单的求极大值的例子。一个看了就会想到高中生活的函数:

来吧,做高中题。这个函数的极值怎么求?显然这个函数开口向下,存在极大值,它的函数图像为:

求极值,先求函数的导数:

令导数为0,可求出x=2即取得函数f(x)的极大值。极大值等于f(2)=4

但是真实环境中的函数不会像上面这么简单,就算求出了函数的导数,也很难精确计算出函数的极值。此时我们就可以用迭代的方法来做。就像爬坡一样,一点一点逼近极值。这种寻找最佳拟合参数的方法,就是最优化算法。爬坡这个动作用数学公式表达即为:

其中,α为步长,也就是学习速率,控制更新的幅度。效果如下图所示:

比如从(0,0)开始,迭代路径就是1->2->3->4->…->n,直到求出的x为函数极大值的近似值,停止迭代。我们可以编写Python3代码,来实现这一过程

# -*- coding:UTF-8 -*-

"""

函数说明:梯度上升算法测试函数

求函数f(x) = -x^2 + 4x的极大值
Parameters:    无
Returns:    无
Author:    Jack Cui
Blog:    http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:    https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/
Modify:    2017-08-28
"""
def Gradient_Ascent_test():
    def f_prime(x_old):           #f(x)的导数
        return -2 * x_old + 4
    x_old = -1        #初始值,给一个小于x_new的值
    x_new = 0        #梯度上升算法初始值,即从(0,0)开始
    alpha = 0.01    #步长,也就是学习速率,控制更新的幅度
    presision = 0.00000001           #精度,也就是更新阈值 
    while abs(x_new - x_old) > presision:
        x_old = x_new
        x_new = x_old + alpha * f_prime(x_old)
 #上面提到的公式
        print(x_new)                 #打印最终求解的极值近似值
if __name__ == '__main__':
     Gradient_Ascent_test()

代码运行结果如下:

结果很显然,已经非常接近我们的真实极值了。这一过程,就是梯度上升算法。那么同理,J(θ)这个函数的极值,也可以这么求解。公式可以这么写:

由上小节可知J(θ)为:

sigmoid函数为:

那么,现在我只要求出J(θ)的偏导,就可以利用梯度上升算法,求解J(θ)的极大值了。

那么现在开始求解J(θ)对θ的偏导,求解如下(数学推导):

知道了,梯度上升迭代公式,我们就可以自己编写代码,计算最佳拟合参数了。

三、Python3实战

1、数据准备

数据集已经为大家准备好,下载地址:

https://github.com/Jack-Cherish/Machine-Learning/blob/master/Logistic/testSet.txt

这就是一个简单的数据集,没什么实际意义。让我们先从这个简单的数据集开始学习。先看下数据集有哪些数据:

这个数据有两维特征,因此可以将数据在一个二维平面上展示出来。我们可以将第一列数据(X1)看作x轴上的值,第二列数据(X2)看作y轴上的值。而最后一列数据即为分类标签。根据标签的不同,对这些点进行分类。

那么,先让我们编写代码,看下数据集的分布情况:

# -*- coding:UTF-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
"""

函数说明:加载数据

Parameters:    无
Returns:    dataMat - 数据列表
                  labelMat - 标签列表
Author:    Jack Cui 
Blog:    http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:    https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/ 
Modify:    2017-08-28
"""
def loadDataSet():
    dataMat = []                                 #创建数据列表
    labelMat = []                                 #创建标签列表
    fr = open('testSet.txt')                  #打开文件
 for line in fr.readlines():               #逐行读取
    lineArr = line.strip().split()            #去回车,放入列表
    dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]),
                                 float(lineArr[1])])       #添加数据
    labelMat.append(int(lineArr[2]))            #添加标签
    fr.close()                                                #关闭文件
  return dataMat, labelMat         
"""
函数说明:绘制数据集
Parameters:    无
Returns:    无
Author:    Jack Cui
Blog:    http://blog.csdn.net/c406495762
Zhihu:    https://www.zhihu.com/people/Jack--Cui/
Modify:    2017-08-28
"""
def plotDataSet():
    dataMat, labelMat = loadDataSet()       #加载数据集
    dataArr = np.array(dataMat)                                                                       #转换成numpy的array数组
    n = np.shape(dataMat)[0]       #数据个数
    xcord1 = []
    ycord1 = []                     #正样本
    xcord2 = []
    ycord2 = []                    #负样本
 for i in range(n):            #根据数据集标签进行分类
 if int(labelMat[i]) == 1:            
            xcord1.append(dataArr[i,1])
            ycord1.append(dataArr[i,2])    #1为正样本
 else:
            xcord2.append(dataArr[i,1])
            ycord2.append(dataArr[i,2])    #0为负样本
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)                #添加subplot
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s = 20, c = 'red', 
                        marker = 's',alpha=.5)     #绘制正样本
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s = 20,
                     c = 'green',alpha=.5)          #绘制负样本
    plt.title('DataSet')                                #绘制title
    plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y')                  #绘制label
    plt.show()                                            #显示
if __name__ == '__main__': 
    plotDataSet()

运行结果如下:

从上图可以看出数据的分布情况。假设Sigmoid函数的输入记为z,那么z=w0x0 + w1x1 + w2x2,即可将数据分割开。其中,x0为全是1的向量,x1为数据集的第一列数据,x2为数据集的第二列数据。另z=0,则0=w0 + w1x1 + w2x2。横坐标为x1,纵坐标为x2。这个方程未知的参数为w0,w1,w2,也就是我们需要求的回归系数(最优参数)。

2、训练算法

在编写代码之前,让我们回顾下梯度上升迭代公式:

将上述公式矢量化:

根据矢量化的公式,编写代码如下:

运行结果如图所示:

可以看出,我们已经求解出回归系数[w0,w1,w2]。

通过求解出的参数,我们就可以确定不同类别数据之间的分隔线,画出决策边界。

3、绘制决策边界

我们已经解出了一组回归系数,它确定了不同类别数据之间的分隔线。现在开始绘制这个分隔线,编写代码如下:

运行结果如下:

这个分类结果相当不错,从上图可以看出,只分错了几个点而已。但是,尽管例子简单切数据集很小,但是这个方法却需要大量的计算(300次乘法)。因此下篇文章将对改算法稍作改进,从而减少计算量,使其可以应用于大数据集上。

四、总结

Logistic回归的一般过程:

收集数据:采用任意方法收集数据。

准备数据:由于需要进行距离计算,因此要求数据类型为数值型。另外,结构化数据格式则最佳。

分析数据:采用任意方法对数据进行分析。

训练算法:大部分时间将用于训练,训练的目的是为了找到最佳的分类回归系数。

测试算法:一旦训练步骤完成,分类将会很快。

使用算法:首先,我们需要输入一些数据,并将其转换成对应的结构化数值;接着,基于训练好的回归系数,就可以对这些数值进行简单的回归计算,判定它们属于哪个类别;在这之后,我们就可以在输出的类别上做一些其他分析工作。

其他:

Logistic回归的目的是寻找一个非线性函数Sigmoid的最佳拟合参数,求解过程可以由最优化算法完成。

本文讲述了Logistic回归原理以及数学推导过程。

下篇文章将讲解Logistic回归的改进以及Sklearn实战内容。

如有问题,请留言。如有错误,还望指正,谢谢!

PS: 如果觉得本篇本章对您有所帮助,欢迎关注、评论、顶!

本文出现的所有代码和数据集,均可在我的github上下载,欢迎Follow、Star:

https://github.com/Jack-Cherish/Machine-Learning

参考文献:

  1. 斯坦福大学的吴恩达《机器学习》:https://www.coursera.org/learn/machine-learning
  2. 《机器学习实战》第五章内容

原文发布于微信公众号 - 机器学习算法全栈工程师(Jeemy110)

原文发表时间:2017-10-12

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