首页
学习
活动
专区
工具
TVP
发布
社区首页 >专栏 >讨厌算法的程序员 | 第五章 合并算法

讨厌算法的程序员 | 第五章 合并算法

作者头像
用户1332428
发布2018-03-08 16:24:50
7570
发布2018-03-08 16:24:50
举报
文章被收录于专栏:人工智能LeadAI人工智能LeadAI

本篇介绍的“合并”算法,是为后面学习“归并排序”的一个准备。合并算法是归并排序中的一个子算法,请注意两者之间的关系和差异。

之所以把它独立成一篇,一方面是一旦了解了它再理解归并排序就会简单很多,另一方面是其本身就具有独立性,可以解决很多常见问题,并不非得寄宿在归并排序里面。

合并算法,就是将两个已经各自排好序的序列,合并成一个排好序的大序列的方法。

经典应用

两摞扑克牌

《算法导论》里面给出的例子就很好理解。还是拿扑克牌来说事:桌上有两摞牌,面朝上,每摞都已经按照从小到大排好序了。那么如何把它们合并成一摞并排好序呢?

日常生活中其实还有很多类似的应用。比如校园里学生按身高由低到高排队,偶尔会遇到两队合一队的情况,要求合并后仍然按照由低到高的顺序。

合并算法就是解决此类问题的最佳方法。以扑克牌为例,其基本步骤是:

1 、比较两堆牌最顶上的两张牌,选最小的一张;

2 、将其拿出来(此时该堆顶上将露出一张新牌),面朝下放到输出堆(就是最终的那一大摞);

3 、重复上面两步,直到原来两堆其中一个为空,此时将另一堆中的所有剩余的牌,直接面朝下放到输出堆中。

假设最坏情况是两摞牌要比到各自最后一张,此时算法时间复杂度是T(n) = Θ(n),这是因为整个算法最多只要遍历一遍。

伪码

接下来,用伪码实现上面的思想,但有两个额外的变化:

1、扑克应用中的两摞牌已经排好序换一种表达方式:A是一个数组,p、q和r是数组下标,满足p≤q<r,假设A[p ‥ q]和A[q+1 ‥ r]都已排好序。期望的输出是:A的子数组A[p ‥ r]是通过合并原A[p ‥ q]和A[q+1 ‥ r]形成的且已排好序的子数组。

2、为了避免每次执行基本步骤都要检查是否有堆为空,在每个堆的底部放置一张“哨兵”牌(哨兵通常包含一个特殊值,用于简化代码),值为∞。它可以保证直到两堆牌都露出∞时,其他牌都已经放置到输出堆。因为我们事先知道刚好r - p + 1张牌将被放置到输出堆,所以一旦已执行r - p + 1个基本步骤,算法就可以停止了。

定义算法的名字为MERGE,伪码如下:

MERGE(A, p, q, r)
1  n1 = q - p + 1
2  n2 = r - q
3  let L[1 ‥ n1+1] and R[1 ‥ n2+1] be new arrays
 4  for i = 1 to n1
5    L[i] = A[p+i-1]
6  for j = 1 to n2
7    R[j] = A[q+j]
8  L[n1+1] = ∞
9  R[n2+1] = ∞
10 i = 1
11 j = 1
12 for k = p to r
13   if L[i] ≤ R[j]
14     A[k] = L[i]
15     i = i + 1
16   else A[k] = R[j]
17     j = j + 1

正确性证明

证明算法的正确性中提到:只要证明在初始、保持、和终止阶段循环不变式都成立,从而可以通过终止时的不变式推断出算法是正确的。

代码中的12~17行是唯一的循环,循环不变式是什么呢?这里我们令输出A[p ‥ k-1]作为循环不变式,迭代的任何过程中随k的增加该数组总是按从小到大的顺序包含原A[p ‥ r]中最小的元素,有如下证明:

  • 初始化:循环第一次迭代之前,k = p,所以子数组A[p ‥ k-1]为空;
  • 保持:即要证明某次迭代之前不变式为真,下次迭代之前不变式仍为真;
    • 假设某次迭代前,L[i] ≤ R[j],此时L[i]是未被复制回数组A的最小元素;
    • 与此同时,数组A[p ‥ k-1]包含k - p个最小元素,即迭代前不变式为真;
    • 第14行代码将L[i]复制到A[k]之后,子数组A[p ‥ k]将包含k - p + 1个最小元素。增加k的值(for循环)和i的值(第15行代码)后,即为下次迭代前重新建立了该循环不变式;
    • 反之,若L[i] > R[j],则第16~17代码执行适当的操作来维持该循环不变式。
  • 终止:终止时k = r + 1。子数组A[p ‥ k-1]就是A[p ‥ r]且按从小到大的顺序包含了L[1 ‥ n1+1]和R[1 ‥ n2+1]中的k - p = r - p + 1个最小元素。数组L和R一共包含n1 + n2 + 2 = r - p + 3个元素,多出的2个就是哨兵,其他所有元素都已经被复制回数组A。

时间复杂度

前面提到过MERGE的时间复杂度是Θ(n),其中n = r - p + 1。再快速算下:

  • 代码13行和811行中的每行需要常量时间;
  • 代码4~7行的for循环需要Θ(n1+n2) = Θ(n)的时间;
  • 代码12~17行for循环有n次迭代,每次迭代需要常量时间。

JAVA实现

public class MergeSort {
public static void mergeInASC(int[] numbers, int p, int q, int r) throws Exception {   if(numbers.length < 2 || p > q || q >= r)         
throw new Exception("Para error.");      

int n1 = q - p + 1;    
int n2 = r - q;     

 int[] L = new int[n1 + 1];    
 int[] R = new int[n2 + 1];      
for(int i  = 0; i < n1; i++){         
L[i] = numbers[p + i];     
}     
for(int j = 0; j < n2; j++){         
R[j] = numbers[q + 1 + j];    
 }     
 L[n1] = Integer.MAX_VALUE;     
R[n2] = Integer.MAX_VALUE;      
int i = 0;    
 int j = 0;    
 for(int k = p; k <= r; k++){        
 if(L[i] > R[j]){            
 numbers[k] = R[j];            
 j++;        
 }        
 else{             
numbers[k] = L[i];            
 i++;        
 }     
}
 }
 }

MergeSort.java下载(https://github.com/EthanYuan/algorithm/tree/master/src/algorithm)

本文参与 腾讯云自媒体分享计划,分享自微信公众号。
原始发表:2017-09-26,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自 人工智能LeadAI 微信公众号,前往查看

如有侵权,请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与 腾讯云自媒体分享计划  ,欢迎热爱写作的你一起参与!

评论
登录后参与评论
0 条评论
热度
最新
推荐阅读
领券
问题归档专栏文章快讯文章归档关键词归档开发者手册归档开发者手册 Section 归档