贪心算法(一)——概述

贪心法用于求解最优化问题,即求解某一问题的最优解。 既然能用贪心法求解的问题是一个最优化问题,那么我们首先来了解下最优化问题的几个基本概念。

最优化问题的几个基本概念

  • 目标函数 解决一个最优化问题,首先要将问题抽象成一个数学函数,这也就是一个数学建模的过程,这个能够描述问题的函数就称为『目标函数』,这个函数的最大/小值就是我们要求的最优值。
  • 约束条件 任何函数都有它的取值范围,所有取值范围的集合就称为『约束条件』。
  • 可行解 满足所有约束条件的解称为『可行解』。
  • 最优解 满足约束条件,并且使得目标函数最大/小的解称为『最优解』。

贪心法的求解思路

既然贪心法用于解决最优化问题,所以我们首先对问题进行数学建模,找出其中的:目标函数、约束条件。 最优化问题的结果需要用一个n元组来表示,如X=(x1,x2,x3,……,xn)。 贪心法的执行一共需要n步,每一步都会确定n元组中的一个元素,并保证每一步选取的值都是局部最优的。在经过n步之后,一共选取了n个值,每个值都是局部最优的,最终我们就可以认为这n个局部最优的值是整体最优的。

那么,在每一步中,究竟通过怎样的策略来选取一个当前局部最优解呢?这个选取策略就叫做『最优量度标准』(也叫做贪心准则)。 最优量度标准选择的好坏,直接影响最终的结果是不是整体最优。 而最优量度标准的选择往往是根据经验来确定的,也就是并不是所有的最优量度标准都能达到整体最优。所以你选取的那个最优量度标准能否导致整体最优,这是需要额外证明的。

贪心算法原型

SolutionType greedy(int[] a){

    // 一开始结果集为空
    SolutionType solution = {};
    // 进行n步选值
    for ( int i=0; i<n; i++ ) {
        // 选出当前局部最优解x
        x = select(a);
        // 判断x是否满足约束条件,若不满足则继续选
        while( !isFeasible(x) ){
            x = select(a);
        }
        // 将当前最优解添加至结果集中
        solution.add(x);
    }
}

何时使用贪心法

满足如下条件,可以使用贪心法:

  1. 要求解的问题是一个最优化问题;
  2. 这个问题的解可以用n元组表示;
  3. 该问题满足最优子结构特性;
  4. 可以找到最优量度标准,并可以证明该最优量度标准能导致一个整体最优解;

PS:并非对所有最优化问题都能找到最优量度标准,若找不到可以使用动态规划法。

贪心法的应用

  • 一般背包问题
  • 最佳合并模式
  • 最小代价生成树
  • 单元最短路径

总结

贪心法用于求解最优化问题。采用多步决策的方式求解,每一步根据最优量度标准求出结果集的一个分量,保证该分量为当前的局部最优解。那么当进行n步决策后,就求出结果集的所有分量。只要最优量度标准选的合理,最终的结果就是一个最优解。 当然,你选取的那个最优量度标准究竟能不能导致整体最优解,这是需要证明的。

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