判别模型、生成模型与朴素贝叶斯方法

1、判别模型与生成模型

回归模型其实是判别模型，也就是根据特征值来求结果的概率。形式化表示为

，在参数

确定的情况下，求解条件概率

。通俗的解释为在给定特征后预测结果出现的概率。

比如说要确定一只羊是山羊还是绵羊，用判别模型的方法是先从历史数据中学习到模型，然后通过提取这只羊的特征来预测出这只羊是山羊的概率，是绵羊的概率。换一种思路，我们可以根据山羊的特征首先学习出一个山羊模型，然后根据绵羊的特征学习出一个绵羊模型。然后从这只羊中提取特征，放到山羊模型中看概率是多少，再放到绵羊模型中看概率是多少，哪个大就是哪个。形式化表示为求

（也包括

，y是模型结果，x是特征。

利用贝叶斯公式发现两个模型的统一性：

由于我们关注的是y的离散值结果中哪个概率大（比如山羊概率和绵羊概率哪个大），而并不是关心具体的概率，因此上式改写为：

其中

称为后验概率，

称为先验概率。

由

，因此有时称判别模型求的是条件概率，生成模型求的是联合概率。

常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件随机场、神经网络等。

常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、Restricted Boltzmann Machine等。

2、高斯判别分析（Gaussian discriminant analysis）

1） 多值正态分布

多变量正态分布描述的是n维随机变量的分布情况，这里的

变成了向量，

也变成了矩阵

。写作

。假设有n个随机变量X1,X2,…,Xn。

的第i个分量是E(Xi)，而

。

概率密度函数如下：

其中|

是

的行列式，

是协方差矩阵，而且是对称半正定的。

当

是二维的时候可以如下图表示：

其中

决定中心位置，

决定投影椭圆的朝向和大小。

如下图：

对应的

都不同。

2） 模型分析与应用

如果输入特征x是连续型随机变量，那么可以使用高斯判别分析模型来确定p(x|y)。

模型如下：

输出结果服从伯努利分布，在给定模型下特征符合多值高斯分布。通俗地讲，在山羊模型下，它的胡须长度，角大小，毛长度等连续型变量符合高斯分布，他们组成的特征向量符合多值高斯分布。

这样，可以给出概率密度函数：

最大似然估计如下：

注意这里的参数有两个

，表示在不同的结果模型下，特征均值不同，但我们假设协方差相同。反映在图上就是不同模型中心位置不同，但形状相同。这样就可以用直线来进行分隔判别。

求导后，得到参数估计公式：

是训练样本中结果y=1占有的比例。

是y=0的样本中特征均值。

是y=1的样本中特征均值。

是样本特征方差均值。

如前面所述，在图上表示为：

直线两边的y值不同，但协方差矩阵相同，因此形状相同。

不同，因此位置不同。

3） 高斯判别分析（GDA）与logistic回归的关系

将GDA用条件概率方式来表述的话，如下：

y是x的函数，其中

都是参数。

进一步推导出

这里的

是

的函数。

这个形式就是logistic回归的形式。

也就是说如果p(x|y)符合多元高斯分布，那么p(y|x)符合logistic回归模型。反之，不成立。为什么反过来不成立呢？因为GDA有着更强的假设条件和约束。

如果认定训练数据满足多元高斯分布，那么GDA能够在训练集上是最好的模型。然而，我们往往事先不知道训练数据满足什么样的分布，不能做很强的假设。Logistic回归的条件假设要弱于GDA，因此更多的时候采用logistic回归的方法。

例如，训练数据满足泊松分布，

，那么p(y|x)也是logistic回归的。这个时候如果采用GDA，那么效果会比较差，因为训练数据特征的分布不是多元高斯分布，而是泊松分布。

这也是logistic回归用的更多的原因。

3、朴素贝叶斯模型

在GDA中，我们要求特征向量x是连续实数向量。如果x是离散值的话，可以考虑采用朴素贝叶斯的分类方法。

假如要分类垃圾邮件和正常邮件。分类邮件是文本分类的一种应用。

假设采用最简单的特征描述方法，首先找一部英语词典，将里面的单词全部列出来。然后将每封邮件表示成一个向量，向量中每一维都是字典中的一个词的0/1值，1表示该词在邮件中出现，0表示未出现。

比如一封邮件中出现了“a”和“buy”，没有出现“aardvark”、“aardwolf”和“zygmurgy”，那么可以形式化表示为：

假设字典中总共有5000个词，那么x是5000维的。这时候如果要建立多项式分布模型（二项分布的扩展）。

对应到上面的问题上来，把每封邮件当做一次随机试验，那么结果的可能性有

种。意味着pi有

个，参数太多，不可能用来建模。

换种思路，我们要求的是p(y|x)，根据生成模型定义我们可以求p(x|y)和p(y)。假设x中的特征是条件独立的。这个称作朴素贝叶斯假设。如果一封邮件是垃圾邮件（y=1），且这封邮件出现词“buy”与这封邮件是否出现“price”无关，那么“buy”和“price”之间是条件独立的。

形式化表示为，（如果给定Z的情况下，X和Y条件独立）：

也可以表示为：

回到问题中

这个与NLP中的n元语法模型有点类似，这里相当于unigram。

这里我们发现朴素贝叶斯假设是约束性很强的假设，“buy”从通常上讲与“price”是有关系，我们这里假设的是条件独立。（注意条件独立和独立是不一样的）

建立形式化的模型表示：

那么我们想要的是模型在训练数据上概率积能够最大，即最大似然估计如下：

注意这里是联合概率分布积最大，说明朴素贝叶斯是生成模型。

求解得：

最后一个式子是表示y=1的样本数占全部样本数的比例，前两个表示在y=1或0的样本中，特征Xj=1的比例。

然而我们要求的是

实际是求出分子即可，分母对y=1和y=0都一样。

当然，朴素贝叶斯方法可以扩展到x和y都有多个离散值的情况。对于特征是连续值的情况，我们也可以采用分段的方法来将连续值转化为离散值。具体怎么转化能够最优，我们可以采用信息增益的度量方法来确定（参见Mitchell的《机器学习》决策树那一章）。

比如房子大小可以如下划分成离散值：

4、拉普拉斯平滑

朴素贝叶斯方法有个致命的缺点就是对数据稀疏问题过于敏感。

比如前面提到的邮件分类，现在新来了一封邮件，邮件标题是“NIPS call for papers”。我们使用更大的网络词典（词的数目由5000变为35000）来分类，假设NIPS这个词在字典中的位置是35000。然而NIPS这个词没有在训练数据中出现过，这封邮件第一次出现了NIPS。那我们算概率的时候如下：

由于NIPS在以前的不管是垃圾邮件还是正常邮件都没出现过，那么结果只能是0了。

显然最终的条件概率也是0。

原因就是我们的特征概率条件独立，使用的是相乘的方式来得到结果。

为了解决这个问题，我们打算给未出现特征值，赋予一个“小”的值而不是0。

具体平滑方法如下：

假设离散型随机变量z有{1,2,…,k}个值，我们用

来表示每个值的概率。假设有m个训练样本中，z的观察值是

其中每一个观察值对应k个值中的一个。那么根据原来的估计方法可以得到

说白了就是z=j出现的比例。

拉普拉斯平滑法将每个k值出现次数事先都加1，通俗讲就是假设他们都出现过一次。

那么修改后的表达式为：

每个z=j的分子都加1，分母加k。可见

。

这个有点像NLP里面的加一平滑法，当然还有n多平滑法了，这里不再详述。

回到邮件分类的问题，修改后的公式为：

5、文本分类的事件模型

回想一下我们刚刚使用的用于文本分类的朴素贝叶斯模型，这个模型称作多值伯努利事件模型（multi-variate Bernoulli event model）。在这个模型中，我们首先随机选定了邮件的类型（垃圾或者普通邮件，也就是p(y)），然后一个人翻阅词典，从第一个词到最后一个词，随机决定一个词是否要在邮件中出现，出现标示为1，否则标示为0。然后将出现的词组成一封邮件。决定一个词是否出现依照概率p(xi|y)。那么这封邮件的概率可以标示为

。

让我们换一个思路，这次我们不先从词典入手，而是选择从邮件入手。让i表示邮件中的第i个词，xi表示这个词在字典中的位置，那么xi取值范围为{1,2,…|V|}，|V|是字典中词的数目。这样一封邮件可以表示成

，n可以变化，因为每封邮件的词的个数不同。然后我们对于每个xi随机从|V|个值中取一个，这样就形成了一封邮件。这相当于重复投掷|V|面的骰子，将观察值记录下来就形成了一封邮件。当然每个面的概率服从p(xi|y)，而且每次试验条件独立。这样我们得到的邮件概率是

。居然跟上面的一样，那么不同点在哪呢？注意第一个的n是字典中的全部的词，下面这个n是邮件中的词个数。上面xi表示一个词是否出现，只有0和1两个值，两者概率和为1。下面的xi表示|V|中的一个值，|V|个p(xi|y)相加和为1。是多值二项分布模型。上面的x向量都是0/1值，下面的x的向量都是字典中的位置。

形式化表示为：

m个训练样本表示为：

表示第i个样本中，共有ni个词，每个词在字典中的编号为

。

那么我们仍然按照朴素贝叶斯的方法求得最大似然估计概率为

解得，

与以前的式子相比，分母多了个ni，分子由0/1变成了k。

举个例子：

假如邮件中只有a，b，c这三词，他们在词典的位置分别是1,2,3，前两封邮件都只有2个词，后两封有3个词。

Y=1是垃圾邮件。

那么，

假如新来一封邮件为b，c那么特征表示为{2,3}。

那么

那么该邮件是垃圾邮件概率是0.6。

注意这个公式与朴素贝叶斯的不同在于这里针对整体样本求的

，而朴素贝叶斯里面针对每个特征求的

，而且这里的特征值维度是参差不齐的。

这里如果假如拉普拉斯平滑，得到公式为：

表示每个k值至少发生过一次。

另外朴素贝叶斯虽然有时候不是最好的分类方法，但它简单有效，而且速度快。