0 前言
印象中,最开始听说“LDA”这个名词,是缘于rickjin在2013年3月写的一个LDA科普系列,叫LDA数学八卦,我当时一直想看来着,记得还打印过一次,但不知是因为这篇文档的前序铺垫太长(现在才意识到这些“铺垫”都是深刻理解LDA 的基础,但如果没有人帮助初学者提纲挈领、把握主次、理清思路,则很容易陷入LDA的细枝末节之中),还是因为其中的数学推导细节太多,导致一直没有完整看完过。
理解LDA,可以分为下述5个步骤:
本文便按照上述5个步骤来阐述,希望读者看完本文后,能对LDA有个尽量清晰完整的了解。
关于LDA有两种含义,一种是线性判别分析(Linear Discriminant Analysis),一种是概率主题模型:隐含狄利克雷分布(Latent Dirichlet Allocation,简称LDA),本文讲后者。
另外,我先简单说下LDA的整体思想,不然我怕你看了半天,铺了太长的前奏,却依然因没见到LDA的影子而显得“心浮气躁”,导致不想再继续看下去。所以,先给你吃一颗定心丸,明白整体框架后,咱们再一步步抽丝剥茧,展开来论述。
按照wiki上的介绍,LDA由Blei, David M.、Ng, Andrew Y.、Jordan于2003年提出,是一种主题模型,它可以将文档集 中每篇文档的主题以概率分布的形式给出,从而通过分析一些文档抽取出它们的主题(分布)出来后,便可以根据主题(分布)进行主题聚类或文本分类。同时,它是一种典型的词袋模型,即一篇文档是由一组词构成,词与词之间没有先后顺序的关系。此外,一篇文档可以包含多个主题,文档中每一个词都由其中的一个主题生成。
LDA的这三位作者在原始论文中给了一个简单的例子。比如假设事先给定了这几个主题:Arts、Budgets、Children、Education,然后通过学习的方式,获取每个主题Topic对应的词语。如下图所示:
然后以一定的概率选取上述某个主题,再以一定的概率选取那个主题下的某个单词,不断的重复这两步,最终生成如下图所示的一篇文章(其中不同颜色的词语分别对应上图中不同主题下的词):
而当我们看到一篇文章后,往往喜欢推测这篇文章是如何生成的,我们可能会认为作者先确定这篇文章的几个主题,然后围绕这几个主题遣词造句,表达成文。LDA就是要干这事:根据给定的一篇文档,推测其主题分布。
然,就是这么一个看似普通的LDA,一度吓退了不少想深入探究其内部原理的初学者。难在哪呢,难就难在LDA内部涉及到的数学知识点太多了。
在LDA模型中,一篇文档生成的方式如下:
中取样生成文档 i 的主题分布
中取样生成文档i第 j 个词的主题
中取样生成主题
对应的词语分布
中采样最终生成词语
其中,类似Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布,而狄利克雷分布(Dirichlet分布)是多项式分布的共轭先验概率分布。
此外,LDA的图模型结构如下图所示(类似贝叶斯网络结构):
恩,不错,短短6句话整体概括了整个LDA的主体思想!但也就是上面短短6句话,却接连不断或重复出现了二项分布、多项式分布、beta分布、狄利克雷分布(Dirichlet分布)、共轭先验概率分布、取样,那么请问,这些都是啥呢?
这里先简单解释下二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet 分布这4个分布。
二项分布是从伯努利分布推进的。伯努利分布,又称两点分布或0-1分布,是一个离散型的随机分布,其中的随机变量只有两类取值,非正即负{+,-}。而二项分布即重复n次的伯努利试验,记为
。简言之,只做一次实验,是伯努利分布,重复做了n次,是二项分布。二项分布的概率密度函数为:
对于k = 0, 1, 2, ..., n,其中的
是二项式系数(这就是二项分布的名称的由来),又记为
。回想起高中所学的那丁点概率知识了么:想必你当年一定死记过这个二项式系数
就是
。
多项分布是指单次试验中的随机变量的取值不再是0-1的,而是有多种离散值可能(1,2,3...,k)。比如投掷6个面的骰子实验,N次实验结果服从K=6的多项分布。其中
多项分布的概率密度函数为:
给定参数
和
,取值范围为[0,1]的随机变量 x 的概率密度函数:
其中:
,
。
注:
便是所谓的gamma函数,下文会具体阐述。
Dirichlet分布的的密度函数形式跟beta分布的密度函数如出一辙:
其中
至此,我们可以看到二项分布和多项分布很相似,Beta分布和Dirichlet 分布很相似,而至于“Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布,而狄利克雷分布(Dirichlet分布)是多项式分布的共轭先验概率分布”这点在下文中说明。
OK,接下来,咱们就按照本文开头所说的思路:“一个函数:gamma函数,四个分布:二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet分布,外加一个概念和一个理念:共轭先验和贝叶斯框架,两个模型:pLSA、LDA(文档-主题,主题-词语),一个采样:Gibbs采样”一步步详细阐述,争取给读者一个尽量清晰完整的LDA。
(当然,如果你不想深究背后的细节原理,只想整体把握LDA的主体思想,可直接跳到本文第4 部分,看完第4部分后,若还是想深究背后的细节原理,可再回到此处开始看)
咱们先来考虑一个问题(此问题1包括下文的问题2-问题4皆取材自LDA数学八卦):
的分布是什么。
为解决这个问题,可以尝试计算
落在区间[x,x+Δx]的概率。即求下述式子的值:
首先,把 [0,1] 区间分成三段 [0,x),[x,x+Δx],(x+Δx,1],然后考虑下简单的情形:即假设n 个数中只有1个落在了区间 [x,x+Δx]内,由于这个区间内的数X(k)是第k大的,所以[0,x)中应该有 k−1 个数,(x+Δx,1] 这个区间中应该有n−k 个数。如下图所示:
从而问题转换为下述事件E:
对于上述事件E,有:
其中,o(Δx)表示Δx的高阶无穷小。显然,由于不同的排列组合,即n个数中有一个落在 [x,x+Δx]区间的有n种取法,余下n−1个数中有k−1个落在[0,x)的有
种组合,所以和事件E等价的事件一共有
个。
如果有2个数落在区间[x,x+Δx]呢?如下图所示:
类似于事件E,对于2个数落在区间[x,x+Δx]的事件E’:
有:
从上述的事件E、事件E‘中,可以看出,只要落在[x,x+Δx]内的数字超过一个,则对应的事件的概率就是 o(Δx)。于是乎有:
从而得到
的概率密度函数
为:
至此,本节开头提出的问题得到解决。然仔细观察
的概率密度函数,发现式子的最终结果有阶乘,联想到阶乘在实数上的推广
函数:
两者结合是否会产生奇妙的效果呢?考虑到
具有如下性质:
故将代入到
的概率密度函数
中,可得:
然后取
,
,转换
得到:
如果熟悉beta分布的朋友,可能会惊呼:哇,竟然推出了beta分布!
在概率论中,beta是指一组定义在
区间的连续概率分布,有两个参数
和
,且
。
beta分布的概率密度函数是:
其中的
便是
函数:
随机变量X服从参数为的beta分布通常写作:
。
回顾下1.1节开头所提出的问题:“问题1 随机变量
,把这n 个随机变量排序后得到顺序统计量
,然后请问
的分布是什么。” 如果,咱们要在这个问题的基础上增加一些观测数据,变成问题2:
,对应的顺序统计量是
,需要猜测
;
,
中有
个比p小,
个比
大;
的分布是什么。
根据“Yi中有
个比
小,
个比
大”,换言之,Yi中有
个比
小,
个比
大,所以
是
中第
大的数。
根据1.1节最终得到的结论“只要落在[x,x+Δx]内的数字超过一个,则对应的事件的概率就是 o(Δx)”,继而推出事件服从beta分布,从而可知
的概率密度函数为:
熟悉贝叶斯方法(不熟悉的没事,参见此文第一部分)的朋友心里估计又犯“嘀咕”了,这不就是贝叶斯式的思考过程么?
,在获得一定的观测数据前,我们对
的认知是:
,此称为
的先验分布;
中有
个比p小,
个比
大”,针对
是做了
次贝努利实验,所以
服从二项分布
;
的知识后,
的后验分布变为
。
回顾下贝叶斯派思考问题的固定模式:
+ 样本信息
后验分布
上述思考模式意味着,新观察到的样本信息将修正人们以前对事物的认知。换言之,在得到新的样本信息之前,人们对
的认知是先验分布
,在得到新的样本信息
后,人们对
的认知为
。
类比到现在这个问题上,我们也可以试着写下:
其中
对应的是二项分布
的计数。
更一般的,对于非负实数
和
,我们有如下关系
针对于这种观测到的数据符合二项分布,参数的先验分布和后验分布都是Beta分布的情况,就是Beta-Binomial共轭。换言之,Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布。
二项分布和Beta分布是共轭分布意味着,如果我们为二项分布的参数p选取的先验分布是Beta分布,那么以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验分布仍然服从Beta分布。
此外,如何理解参数
和
所表达的意义呢?
、
可以认为形状参数,通俗但不严格的理解是,
和
共同控制Beta分布的函数“长的样子”:形状千奇百怪,高低胖瘦,如下图所示:
什么又是共轭呢?轭的意思是束缚、控制,共轭从字面上理解,则是共同约束,或互相约束。
在贝叶斯概率理论中,如果后验概率P(θ|x)和先验概率p(θ)满足同样的分布律,那么,先验分布和后验分布被叫做共轭分布,同时,先验分布叫做似然函数的共轭先验分布。
比如,某观测数据服从概率分布P(θ)时,当观测到新的X数据时,我们一般会遇到如下问题:
事实上,根据根据贝叶斯公式可知:
其中,P(x|θ)表示以预估θ为参数的x概率分布,可以直接求得,P(θ)是已有原始的θ概率分布。
所以,如果我们选取P(x|θ)的共轭先验作为P(θ)的分布,那么P(x|θ)乘以P(θ),然后归一化的结果P(θ|x)跟和P(θ)的形式一样。换句话说,先验分布是P(θ),后验分布是P(θ|x),先验分布跟后验分布同属于一个分布族,故称该分布族是θ的共轭先验分布(族)。
举个例子。投掷一个非均匀硬币,可以使用参数为θ的伯努利模型,θ为硬币为正面的概率,那么结果x的分布形式为:
其共轭先验为beta分布,具有两个参数
和
,称为超参数(hyperparameters)。且这两个参数决定了θ参数,其Beta分布形式为
然后计算后验概率
归一化这个等式后会得到另一个Beta分布,从而证明了Beta分布确实是伯努利分布的共轭先验分布。
接下来,咱们来考察beta分布的一个性质。
如果
,则有:
注意到上式最后结果的右边积分
其类似于概率分布
,而对于这个分布有
从而求得
的结果为
最后将此结果带入
的计算式,得到:
最后的这个结果意味着对于Beta 分布的随机变量,其均值(期望)可以用
来估计。此外,狄利克雷Dirichlet 分布也有类似的结论,即如果
,同样可以证明有下述结论成立:
那什么是Dirichlet 分布呢?简单的理解Dirichlet 分布就是一组连续多变量概率分布,是多变量普遍化的beta分布。为了纪念德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)而命名。狄利克雷分布常作为贝叶斯统计的先验概率。
根据wikipedia上的介绍,维度K ≥ 2(x1,x2…xK-1维,共K个)的狄利克雷分布在参数α1, ..., αK > 0上、基于欧几里得空间RK-1里的勒贝格测度有个概率密度函数,定义为:
其中,
相当于是多项beta函数
且
此外,x1+x2+…+xK-1+xK=1,x1,x2…xK-1>0,且在(K-1)维的单纯形上,其他区域的概率密度为0。
当然,也可以如下定义Dirichlet 分布
其中的
称为Dirichlet 分布的归一化系数:
且根据Dirichlet分布的积分为1(概率的基本性质),可以得到:
下面,在2.2节问题2的基础上继续深入,引出问题3。
,
,
的联合分布是什么?
为了简化计算,取x3满足x1+x2+x3=1,但只有x1,x2是变量,如下图所示:
从而有:
继而得到于是我们得到
的联合分布为:
观察上述式子的最终结果,可以看出上面这个分布其实就是3维形式的 Dirichlet 分布
令
,于是分布密度可以写为
这个就是一般形式的3维 Dirichlet 分布,即便
延拓到非负实数集合,以上概率分布也是良定义的。
将Dirichlet分布的概率密度函数取对数,绘制对称Dirichlet分布的图像如下图所示(截取自wikipedia上):
上图中,取K=3,也就是有两个独立参数x1,x2,分别对应图中的两个坐标轴,第三个参数始终满足x3=1-x1-x2且α1=α2=α3=α,图中反映的是参数α从α=(0.3, 0.3, 0.3)变化到(2.0, 2.0, 2.0)时的概率对数值的变化情况。
为了论证Dirichlet分布是多项式分布的共轭先验概率分布,下面咱们继续在上述问题3的基础上再进一步,提出问题4。
,排序后对应的顺序统计量
,
,
(此处的p3非变量,只是为了表达方便),现在要猜测
;
,Yi中落到
,
,
三个区间的个数分别为 m1,m2,m3,m=m1+m2+m3;
的分布是什么。
为了方便讨论,记
,及
,根据已知条件“
,Yi中落到
,
,
三个区间的个数分别为 m1,m2”,可得
、
分别是这m+n个数中第
大、第
大的数。于是,后验分布
应该为
,即一般化的形式表示为:
。
同样的,按照贝叶斯推理的逻辑,可将上述过程整理如下:
,其先验分布为
;
,
,
的个数分别为
,所以
服从多项分布
后,
的后验分布变为
上述贝叶斯分析过程的直观表述为:
令
,可把
从整数集合延拓到实数集合,从而得到更一般的表达式如下:
针对于这种观测到的数据符合多项分布,参数的先验分布和后验分布都是Dirichlet 分布的情况,就是Dirichlet-Multinomial 共轭。换言之,至此已经证明了Dirichlet分布的确就是多项式分布的共轭先验概率分布。
意味着,如果我们为多项分布的参数p选取的先验分布是Dirichlet分布,那么以p为参数的多项分布用贝叶斯估计得到的后验分布仍然服从Dirichlet分布。
进一步,一般形式的Dirichlet 分布定义如下:
而对于给定的
和
,其多项分布为:
结论是:Dirichlet分布
和多项分布
是共轭关系。
在开始下面的旅程之前,先来总结下我们目前所得到的最主要的几个收获:
和
,我们有如下关系
其中
对应的是二项分布
的计数。针对于这种观测到的数据符合二项分布,参数的先验分布和后验分布都是Beta分布的情况,就是Beta-Binomial 共轭。”
从整数集合延拓到实数集合,从而得到更一般的表达式如下:
针对于这种观测到的数据符合多项分布,参数的先验分布和后验分布都是Dirichlet 分布的情况,就是 Dirichlet-Multinomial 共轭。 ”
的认知是先验分布
,在得到新的样本信息
后,人们对
的认知为
。
+ 样本信息
后验分布
虽然是未知的,但最起码是确定的一个值,同时,样本X 是随机的,所以频率派重点研究样本空间,大部分的概率计算都是针对样本X 的分布;
是随机变量,服从一定的分布,而样本X 是固定的,由于样本是固定的,所以他们重点研究的是参数
的分布。
OK,在杀到终极boss——LDA模型之前,再循序渐进理解基础模型:Unigram model、mixture of unigrams model,以及跟LDA最为接近的pLSA模型。
为了方便描述,首先定义一些变量:
表示词,
表示所有单词的个数(固定值)
表示主题,
是主题的个数(预先给定,固定值)
表示语料库,其中的
是语料库中的文档数(固定值)
表示文档,其中的
表示一个文档中的词数(随机变量)
对于文档
,用
表示词
的先验概率,生成文档
的概率为:
其图模型为(图中被涂色的w表示可观测变量,N表示一篇文档中总共N个单词,M表示M篇文档):
或为:
unigram model假设文本中的词服从Multinomial分布,而我们已经知道Multinomial分布的先验分布为Dirichlet分布。 上图中的
表示在文本中观察到的第n个词,n∈[1,N]表示该文本中一共有N个单词。加上方框表示重复,即一共有N个这样的随机变量
。其中,p和α是隐含未知变量:
一般α由经验事先给定,p由观察到的文本中出现的词学习得到,表示文本中出现每个词的概率。
该模型的生成过程是:给某个文档先选择一个主题
,再根据该主题生成文档,该文档中的所有词都来自一个主题。假设主题有
,生成文档
的概率为:
其图模型为(图中被涂色的w表示可观测变量,未被涂色的z表示未知的隐变量,N表示一篇文档中总共N个单词,M表示M篇文档):
啊哈,长征两万五,经过前面这么长的铺垫,终于快要接近LDA模型了!因为跟LDA模型最为接近的便是下面要阐述的这个pLSA模型,理解了pLSA模型后,到LDA模型也就一步之遥——给pLSA加上贝叶斯框架,便是LDA。
OK,在上面的Mixture of unigrams model中,我们假定一篇文档只由一个主题生成,可实际中,一篇文章往往有多个主题,只是这多个主题各自在文档中出现的概率大小不一样。比如介绍一个国家的文档中,往往会分别从教育、经济、交通等多个主题进行介绍。那么在pLSA中,文档是怎样被生成的呢?
假设你要写M篇文档,由于一篇文档由各个不同的词组成,所以你需要确定每篇文档里每个位置上的词。
再假定你一共有K个可选的主题,有V个可选的词,咱们来玩一个扔骰子的游戏。
上述过程抽象出来即是PLSA的文档生成模型。在这个过程中,我们并未关注词和词之间的出现顺序,所以pLSA是一种词袋方法。具体说来,该模型假设一组共现(co-occurrence)词项关联着一个隐含的主题类别
。同时定义:
表示海量文档中某篇文档被选中的概率。
表示词
在给定文档
中出现的概率。
。
表示具体某个主题
在给定文档
下出现的概率。
表示具体某个词
在给定主题
下出现的概率,与主题关系越密切的词,其条件概率
越大。
利用上述的第1、3、4个概率,我们便可以按照如下的步骤得到“文档-词项”的生成模型:
选择一篇文档
后,从主题分布中按照概率
选择一个隐含的主题类别
后,从词分布中按照概率
选择一个词
所以pLSA中生成文档的整个过程便是选定文档生成主题,确定主题生成词。
反过来,既然文档已经产生,那么如何根据已经产生好的文档反推其主题呢?这个利用看到的文档推断其隐藏的主题(分布)的过程(其实也就是产生文档的逆过程),便是主题建模的目的:自动地发现文档集中的主题(分布)。
文档d和单词w自然是可被观察到的,但主题z却是隐藏的。如下图所示(图中被涂色的d、w表示可观测变量,未被涂色的z表示未知的隐变量,N表示一篇文档中总共N个单词,M表示M篇文档):
上图中,文档d和词w是我们得到的样本(样本随机,参数虽未知但固定,所以pLSA属于频率派思想。区别于下文要介绍的LDA中:样本固定,参数未知但不固定,是个随机变量,服从一定的分布,所以LDA属于贝叶斯派思想),可观测得到,所以对于任意一篇文档,其
是已知的。
从而可以根据大量已知的文档-词项信息
,训练出文档-主题
和主题-词项
,如下公式所示:
故得到文档中每个词的生成概率为:
由于
可事先计算求出,而
和
未知,所以
就是我们要估计的参数(值),通俗点说,就是要最大化这个θ。
用什么方法进行估计呢,常用的参数估计方法有极大似然估计MLE、最大后验证估计MAP、贝叶斯估计等等。因为该待估计的参数中含有隐变量z,所以我们可以考虑EM算法。
EM算法,全称为Expectation-maximization algorithm,为期望最大算法,其基本思想是:首先随机选取一个值去初始化待估计的值
,然后不断迭代寻找更优的
使得其似然函数likelihood
比原来的
要大。换言之,假定现在得到了
,想求
,使得
EM的关键便是要找到
的一个下界
(注:
,其中,X表示已经观察到的随机变量),然后不断最大化这个下界,通过不断求解下界
的极大化,从而逼近要求解的似然函数
。
所以EM算法的一般步骤为:
;
,计算似然函数
的下界
,使得
收敛(即
收敛)则退出算法,否则继续回到第二步。
上述过程好比在二维平面上,有两条不相交的曲线,一条曲线在上(简称上曲线
),一条曲线在下(简称下曲线
),下曲线为上曲线的下界。现在对上曲线未知,只已知下曲线,为了求解上曲线的最高点,我们试着不断增大下曲线,使得下曲线不断逼近上曲线,下曲线在某一个点达到局部最大值并与上曲线在这点的值相等,记录下这个值,然后继续增大下曲线,寻找下曲线上与上曲线上相等的值,迭代到
收敛(即
收敛)停止,从而利用当前下曲线上的局部最大值当作上曲线的全局最大值(换言之,EM算法不保证一定能找到全局最优值)。如下图所示:
以下是详细介绍。
假定有训练集
,包含m个独立样本,希望从中找到该组数据的模型p(x,z)的参数。
然后通过极大似然估计建立目标函数--对数似然函数:
这里,z是隐随机变量,直接找到参数的估计是很困难的。我们的策略是建立
的下界,并且求该下界的最大值;重复这个过程,直到收敛到局部最大值。
令Qi是z的某一个分布,Qi≥0,且结合Jensen不等式,有:
为了寻找尽量紧的下界,我们可以让使上述等号成立,而若要让等号成立的条件则是:
换言之,有以下式子成立:
,且由于有:
所以可得:
最终得到EM算法的整体框架如下:
OK,EM算法还会在本博客后面的博文中具体阐述。接下来,回到pLSA参数的估计问题上。
首先尝试从矩阵的角度来描述待估计的两个未知变量
和
。
表示词表
在主题
上的一个多项分布,则
可以表示成一个向量,每个元素
表示词项
出现在主题
中的概率,即
表示所有主题
在文档
上的一个多项分布,则
可以表示成一个向量,每个元素
表示主题
出现在文档
中的概率,即
这样,巧妙的把
和
转换成了两个矩阵。换言之,最终我们要求解的参数是这两个矩阵:
由于词和词之间是相互独立的,所以整篇文档N个词的分布为:
再由于文档和文档之间也是相互独立的,所以整个语料库中词的分布为(整个语料库M篇文档,每篇文档N个词):
其中,
表示词项
在文档
中的词频,
表示文档di中词的总数,显然有
。 从而得到整个语料库的词分布的对数似然函数(下述公式中有个小错误,正确的应该是:N为M,M为N):
现在,我们需要最大化上述这个对数似然函数来求解参数
和
。对于这种含有隐变量的最大似然估计,可以使用EM算法。EM算法,分为两个步骤:先E-step,后M-step。
利用贝叶斯法则,可以得到:
观察之前得到的对数似然函数
的结果,由于文档长度
可以单独计算,所以去掉它不影响最大化似然函数。此外,根据E-step的计算结果,把
代入
,于是我们只要最大化下面这个函数
即可(下述公式中有个小错误,正确的应该是:N为M,M为N):
这是一个多元函数求极值问题,并且已知有如下约束条件(下述公式中有个小错误,正确的应该是:M为N):
熟悉凸优化的朋友应该知道,一般处理这种带有约束条件的极值问题,常用的方法便是拉格朗日乘数法,即通过引入拉格朗日乘子将约束条件和多元(目标)函数融合到一起,转化为无约束条件的极值问题。
这里我们引入两个拉格朗日乘子
和
,从而写出拉格朗日函数(下述公式中有个小错误,正确的应该是:N为M,M为N):
因为我们要求解的参数是
和
,所以分别对
和
求偏导,然后令偏导结果等于0,得到(下述公式中有个小错误,正确的应该是:N为M,M为N):
消去拉格朗日乘子,最终可估计出参数
和
(下述公式中有个小错误,正确的应该是:N为M,M为N):
综上,在pLSA中:
和
未知,所以我们用EM算法去估计
这个参数的值。
表示词项
出现在主题
中的概率,即
,用
表示主题
出现在文档
中的概率,即
,从而把
转换成了“主题-词项”矩阵Φ(主题生成词),把
转换成了“文档-主题”矩阵Θ(文档生成主题)。
、
。
事实上,理解了pLSA模型,也就差不多快理解了LDA模型,因为LDA就是在pLSA的基础上加层贝叶斯框架,即LDA就是pLSA的贝叶斯版本(正因为LDA被贝叶斯化了,所以才需要考虑历史先验知识,才加的两个先验参数)。
在pLSA模型中,我们按照如下的步骤得到“文档-词项”的生成模型:
选择一篇文档
后,确定文章的主题分布
选择一个隐含的主题类别
后,确定主题下的词分布
选择一个词
”
下面,咱们对比下本文开头所述的LDA模型中一篇文档生成的方式是怎样的:
选择一篇文档
中取样生成文档
的主题分布
,换言之,主题分布
由超参数为
的Dirichlet分布生成
中取样生成文档
第 j 个词的主题
中取样生成主题
对应的词语分布
,换言之,词语分布
由参数为
的Dirichlet分布生成
中采样最终生成词语
”
从上面两个过程可以看出,LDA在PLSA的基础上,为主题分布和词分布分别加了两个Dirichlet先验。
继续拿之前讲解PLSA的例子进行具体说明。如前所述,在PLSA中,选主题和选词都是两个随机的过程,先从主题分布{教育:0.5,经济:0.3,交通:0.2}中抽取出主题:教育,然后从该主题对应的词分布{大学:0.5,老师:0.3,课程:0.2}中抽取出词:大学。
而在LDA中,选主题和选词依然都是两个随机的过程,依然可能是先从主题分布{教育:0.5,经济:0.3,交通:0.2}中抽取出主题:教育,然后再从该主题对应的词分布{大学:0.5,老师:0.3,课程:0.2}中抽取出词:大学。
那PLSA跟LDA的区别在于什么地方呢?区别就在于:
看到这,你可能凌乱了,你说面对多个主题或词,各个主题或词被抽中的概率不一样,所以抽取主题或词是随机抽取,还好理解。但现在你说主题分布和词分布本身也都是不确定的,这是怎么回事?没办法,谁叫Blei等人“强行”给PLSA安了个贝叶斯框架呢,正因为LDA是PLSA的贝叶斯版本,所以主题分布跟词分布本身由先验知识随机给定。
进一步,你会发现:
、
)分别选取具体的主题和词项,生成好文档。而后根据生成好的文档反推其主题分布、词分布时,最终用EM算法(极大似然估计思想)求解出了两个未知但固定的参数的值:
(由
转换而来)和
(由
转换而来)。
换言之,LDA在pLSA的基础上给这两参数(
、
)加了两个先验分布的参数(贝叶斯化):一个主题分布的先验分布Dirichlet分布
,和一个词语分布的先验分布Dirichlet分布
。
综上,LDA真的只是pLSA的贝叶斯版本,文档生成后,两者都要根据文档去推断其主题分布和词语分布(即两者本质都是为了估计给定文档生成主题,给定主题生成词语的概率),只是用的参数推断方法不同,在pLSA中用极大似然估计的思想去推断两未知的固定参数,而LDA则把这两参数弄成随机变量,且加入dirichlet先验。
所以,pLSA跟LDA的本质区别就在于它们去估计未知参数所采用的思想不同,前者用的是频率派思想,后者用的是贝叶斯派思想。 好比,我去一朋友家:
OK,相信已经解释清楚了。如果是在机器学习班上face-to-face,更好解释和沟通。
上面说,LDA中,主题分布 —— 比如{ P(zi), i =1,2,3 }等于{0.4,0.5,0.1}或{0.2,0.2,0.6} —— 是由dirichlet先验给定的,不是根据文档产生的。所以,LDA生成文档的过程中,先从dirichlet先验中“随机”抽取出主题分布,然后从主题分布中“随机”抽取出主题,最后从确定后的主题对应的词分布中“随机”抽取出词。
那么,dirichlet先验到底是如何“随机”抽取主题分布的呢?
事实上,从dirichlet分布中随机抽取主题分布,这个过程不是完全随机的。为了说清楚这个问题,咱们得回顾下dirichlet分布。事实上,如果我们取3个事件的话,可以建立一个三维坐标系,类似xyz三维坐标系,这里,我们把3个坐标轴弄为p1、p2、p3,如下图所示:
在这个三维坐标轴所划分的空间里,每一个坐标点(p1,p2,p3)就对应着一个主题分布,且某一个点(p1,p2,p3)的大小表示3个主题z1、z2、z3出现的概率大小(因为各个主题出现的概率和为1,所以p1+p2+p3 = 1,且p1、p2、p3这3个点最大取值为1)。比如(p1,p2,p3) = (0.4,0.5,0.1)便对应着主题分布{ P(zi), i =1,2,3 } = {0.4,0.5,0.1}。
可以想象到,空间里有很多这样的点(p1,p2,p3),意味着有很多的主题分布可供选择,那dirichlet分布如何选择主题分布呢?把上面的斜三角形放倒,映射到底面的平面上,便得到如下所示的一些彩图(3个彩图中,每一个点对应一个主题分布,高度代表某个主题分布被dirichlet分布选中的概率,且选不同的
,dirichlet 分布会偏向不同的主题分布):
我们来看上图中左边这个图,高度就是代表dirichlet分布选取某个坐标点(p1,p2,p3)(这个点就是一个主题分布)的概率大小。如下图所示,平面投影三角形上的三个顶点上的点:A=(0.9,0.05,0.05)、B=(0.05,0.9,0.05)、C=(0.05,0.05,0.9)各自对应的主题分布被dirichlet分布选中的概率值很大,而平面三角形内部的两个点:D、E对应的主题分布被dirichlet分布选中的概率值很小。
所以虽然说dirichlet分布是随机选取任意一个主题分布的,但依然存在着P(A) = P(B) = P(C) >> P(D) = P(E),即dirichlet分布还是“偏爱”某些主题分布的。至于dirichlet分布的参数
是如何决定dirichlet分布的形状的,可以从dirichlet分布的定义和公式思考。
此外,就算说“随机”选主题也是根据主题分布来“随机”选取,这里的随机不是完全随机的意思,而是根据各个主题出现的概率值大小来抽取。比如当dirichlet先验为文档d生成的主题分布{ P(zi), i =1,2,3 }是{0.4,0.5,0.1}时,那么主题z2在文档d中出现的概率便是0.5。所以,从主题分布中抽取主题,这个过程也不是完全随机的,而是按照各个主题出现的概率值大小进行抽取。
接下来,对比下LDA跟pLSA的概率模型图模型,左图是pLSA,右图是LDA(右图不太规范,z跟w都得是小写, 其中,阴影圆圈表示可观测的变量,非阴影圆圈表示隐变量,箭头表示两变量间的条件依赖性conditional dependency,方框表示重复抽样,方框右下角的数字代表重复抽样的次数):
对应到上面右图的LDA,只有W / w是观察到的变量,其他都是隐变量或者参数,其中,Φ表示词分布,Θ表示主题分布,
是主题分布Θ的先验分布(即Dirichlet 分布)的参数,
是词分布Φ的先验分布(即Dirichlet 分布)的参数,N表示文档的单词总数,M表示文档的总数。
所以,对于一篇文档d中的每一个单词,LDA根据先验知识
确定某篇文档的主题分布θ,然后从该文档所对应的多项分布(主题分布)θ中抽取一个主题z,接着根据先验知识
确定当前主题的词语分布ϕ,然后从主题z所对应的多项分布(词分布)ϕ中抽取一个单词w。然后将这个过程重复N次,就产生了文档d。
换言之:
的Dirichlet先验分布中采样得到的Multinomial分布,每个Topic下的词分布是一个从参数为
的Dirichlet先验分布中采样得到的Multinomial分布。
综上,M 篇文档会对应于 M 个独立的 Dirichlet-Multinomial 共轭结构,K 个 topic 会对应于 K 个独立的 Dirichlet-Multinomial 共轭结构。
→θ→z 表示生成文档中的所有词对应的主题,显然
→θ 对应的是Dirichlet 分布,θ→z 对应的是 Multinomial 分布,所以整体是一个 Dirichlet-Multinomial 共轭结构,如下图所示:
→φ→w,容易看出, 此时β→φ对应的是 Dirichlet 分布, φ→w 对应的是 Multinomial 分布, 所以整体也是一个Dirichlet-Multinomial 共轭结构,如下图所示:
上面对比了pLSA跟LDA生成文档的不同过程,下面,咱们反过来,假定文档已经产生,反推其主题分布。那么,它们估计未知参数所采用的方法又有什么不同呢?
转换得到)和“文档-主题”矩阵Θ(由
转换得到)这两个参数,而且这两参数都是个固定的值,只是未知,使用的思想其实就是极大似然估计MLE。
,可得:P(比例7:1|5个男生) = P(比例7:1)*P(5个男生|比例7:1) / P(5个男生),P(5个男生)是5个男生的先验概率,与学校无关,所以是个常数;类似的,P(比例1:7|5个男生) = P((比例1:7)*P(5个男生|比例1:7)/P(5个男生)。
由于LDA把要估计的主题分布和词分布看作是其先验分布是Dirichlet分布的随机变量,所以,在LDA这个估计主题分布、词分布的过程中,它们的先验分布(即Dirichlet分布)事先由人为给定,那么LDA就是要去求它们的后验分布(LDA中可用gibbs采样去求解它们的后验分布,得到期望
、
)!
此外,不厌其烦的再插一句,在LDA中,主题分布和词分布本身都是多项分布,而由上文3.2节可知“Dirichlet分布是多项式分布的共轭先验概率分布”,因此选择Dirichlet 分布作为它们的共轭先验分布。意味着为多项分布的参数p选取的先验分布是Dirichlet分布,那么以p为参数的多项分布用贝叶斯估计得到的后验分布仍然是Dirichlet分布。