kmeans聚类理论篇K的选择(轮廓系数)

kmeans是最简单的聚类算法之一,但是运用十分广泛。最近在工作中也经常遇到这个算法。kmeans一般在数据分析前期使用,选取适当的k,将数据分类后,然后分类研究不同聚类下数据的特点。

本文记录学习kmeans算法相关的内容,包括算法原理,收敛性,效果评估聚,最后带上R语言的例子,作为备忘。

算法原理

kmeans的计算方法如下:

1 随机选取k个中心点

2 遍历所有数据,将每个数据划分到最近的中心点中

3 计算每个聚类的平均值,并作为新的中心点

4 重复2-3,直到这k个中线点不再变化(收敛了),或执行了足够多的迭代

时间复杂度:O(I*n*k*m)

空间复杂度:O(n*m)

其中m为每个元素字段个数,n为数据量,I为跌打个数。一般I,k,m均可认为是常量,所以时间和空间复杂度可以简化为O(n),即线性的。

算法收敛

从kmeans的算法可以发现,SSE其实是一个严格的坐标下降(Coordinate Decendet)过程。设目标函数SSE如下:

SSE(

,

,…,

) =

采用欧式距离作为变量之间的聚类函数。每次朝一个变量

的方向找到最优解,也就是求偏倒数,然后等于0,可得

c_i=

其中m是c_i所在的簇的元素的个数

也就是当前聚类的均值就是当前方向的最优解(最小值),这与kmeans的每一次迭代过程一样。所以,这样保证SSE每一次迭代时,都会减小,最终使SSE收敛。

由于SSE是一个非凸函数(non-convex function),所以SSE不能保证找到全局最优解,只能确保局部最优解。但是可以重复执行几次kmeans,选取SSE最小的一次作为最终的聚类结果。

0-1规格化

由于数据之间量纲的不相同,不方便比较。举个例子,比如游戏用户的在线时长和活跃天数,前者单位是秒,数值一般都是几千,而后者单位是天,数值一般在个位或十位,如果用这两个变量来表征用户的活跃情况,显然活跃天数的作用基本上可以忽略。所以,需要将数据统一放到0~1的范围,将其转化为无量纲的纯数值,便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。具体计算方法如下:

其中

属于A。

轮廓系数

轮廓系数(Silhouette Coefficient)结合了聚类的凝聚度(Cohesion)和分离度(Separation),用于评估聚类的效果。该值处于-1~1之间,值越大,表示聚类效果越好。具体计算方法如下:

  1. 对于第i个元素x_i,计算x_i与其同一个簇内的所有其他元素距离的平均值,记作a_i,用于量化簇内的凝聚度。
  2. 选取x_i外的一个簇b,计算x_i与b中所有点的平均距离,遍历所有其他簇,找到最近的这个平均距离,记作b_i,用于量化簇之间分离度。
  3. 对于元素x_i,轮廓系数s_i = (b_i – a_i)/max(a_i,b_i)
  4. 计算所有x的轮廓系数,求出平均值即为当前聚类的整体轮廓系数

从上面的公式,不难发现若s_i小于0,说明x_i与其簇内元素的平均距离小于最近的其他簇,表示聚类效果不好。如果a_i趋于0,或者b_i足够大,那么s_i趋近与1,说明聚类效果比较好。

K值选取

在实际应用中,由于Kmean一般作为数据预处理,或者用于辅助分类贴标签。所以k一般不会设置很大。可以通过枚举,令k从2到一个固定值如10,在每个k值上重复运行数次kmeans(避免局部最优解),并计算当前k的平均轮廓系数,最后选取轮廓系数最大的值对应的k作为最终的集群数目。

实际应用

下面通过例子(R实现,完整代码见附件)讲解kmeans使用方法,会将上面提到的内容全部串起来

library(fpc)# install.packages("fpc")
data(iris)
head(iris)

加载实验数据iris,这个数据在机器学习领域使用比较频繁,主要是通过画的几个部分的大小,对花的品种分类,实验中需要使用fpc库估计轮廓系数,如果没有可以通过install.packages安装。

# 0-1 正规化数据
min.max.norm <-function(x){
    (x-min(x))/(max(x)-min(x))
}
raw.data <- iris[,1:4]
norm.data <- data.frame(sl = min.max.norm(raw.data[,1]),
                                        sw = min.max.norm(raw.data[,2]),
                                        pl = min.max.norm(raw.data[,3]),
                                        pw = min.max.norm(raw.data[,4]))

对iris的4个feature做数据正规化,每个feature均是花的某个不为的尺寸。

# k取2到8,评估K
K <- 2:8
round <- 30# 每次迭代30次,避免局部最优
rst <- sapply(K,function(i){
    print(paste("K=",i))
    mean(sapply(1:round,function(r){
        print(paste("Round",r))
        result <- kmeans(norm.data, i)
        stats <- cluster.stats(dist(norm.data), result$cluster)
        stats$avg.silwidth
    }))
})
plot(K,rst,type='l',main='轮廓系数与K的关系', ylab='轮廓系数')

评估k,由于一般K不会太大,太大了也不易于理解,所以遍历K为2到8。由于kmeans具有一定随机性,并不是每次都收敛到全局最小,所以针对每一个k值,重复执行30次,取并计算轮廓系数,最终取平均作为最终评价标准,可以看到如下的示意图,

当k取2时,有最大的轮廓系数,虽然实际上有3个种类。

# 降纬度观察
old.par <- par(mfrow = c(1,2))
k = 2# 根据上面的评估 k=2最优
clu <- kmeans(norm.data,k)
mds = cmdscale(dist(norm.data,method="euclidean"))
plot(mds, col=clu$cluster, main='kmeans聚类 k=2', pch = 19)
plot(mds, col=iris$Species, main='原始聚类', pch = 19)
par(old.par)

聚类完成后,有源原始数据是4纬,无法可视化,所以通过多维定标(Multidimensional scaling)将纬度将至2为,查看聚类效果,如下

可以发现原始分类中和聚类中左边那一簇的效果还是拟合的很好的,右测原始数据就连在一起,kmeans无法很好的区分,需要寻求其他方法。

kmeans最佳实践

1. 随机选取训练数据中的k个点作为起始点

2. 当k值选定后,随机计算n次,取得到最小开销函数值的k作为最终聚类结果,避免随机引起的局部最优解

3. 手肘法选取k值:绘制出k--开销函数闪点图,看到有明显拐点(如下)的地方,设为k值,可以结合轮廓系数。

4. k值有时候需要根据应用场景选取,而不能完全的依据评估参数选取。

原文发布于微信公众号 - 大数据挖掘DT数据分析(datadw)

原文发表时间:2016-06-10

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