Logistic回归模型、应用建模案例
Logistic回归模型、应用建模案例
一、logistic回归模型概述
广义线性回归是探索“响应变量的期望”与“自变量”的关系，以实现对非线性关系的某种拟合。这里面涉及到一个“连接函数”和一个“误差函数”，“响应变量的期望”经过连接函数作用后，与“自变量”存在线性关系。选取不同的“连接函数”与“误差函数”可以构造不同的广义回归模型。当误差函数取“二项分布”而连接函数取“logit函数”时，就是常见的“logistic回归模型”，在0-1响应的问题中得到了大量的应用。
Logistic回归主要通过构造一个重要的指标：发生比来判定因变量的类别。在这里我们引入概率的概念，把事件发生定义为Y=1，事件未发生定义为Y=0，那么事件发生的概率为p,事件未发生的概率为1-p，把p看成x的线性函数；
回归中，最常用的估计是最小二乘估计，因为使得p在[0,1]之间变换，最小二乘估计不太合适，有木有一种估计法能让p在趋近与0和1的时候变换缓慢一些（不敏感），这种变换是我们想要的，于是引入Logit变换,对p/(1-p)也就是发生与不发生的比值取对数，也称对数差异比。经过变换后，p对x就不是线性关系了。
logistic回归的公式可以表示为：
其中P是响应变量取1的概率，在0-1变量的情形中，这个概率就等于响应变量的期望。
这个公式也可以写成：
可以看出，logistic回归是对0-1响应变量的期望做logit变换，然后与自变量做线性回归。参数估计采用极大似然估计，显著性检验采用似然比检验。
建立模型并根据AIC准则选择模型后，可以对未知数据集进行预测，从而实现分类。模型预测的结果是得到每一个样本的响应变量取1的概率，为了得到分类结果，需要设定一个阈值p0——当p大于p0时，认为该样本的响应变量为1，否则为0。阈值大小对模型的预测效果有较大影响，需要进一步考虑。首先必须明确模型预测效果的评价指标。
对于0-1变量的二分类问题，分类的最终结果可以用表格表示为：
其中，d是“实际为1而预测为1”的样本个数，c是“实际为1而预测为0”的样本个数，其余依此类推。
显然地，主对角线所占的比重越大，则预测效果越佳，这也是一个基本的评价指标——总体准确率(a+d)/(a+b+c+d)。
准确（分类）率=正确预测的正反例数/总数
Accuracy=(a+d)/(a+b+c+d)
误分类率=错误预测的正反例数/总数
Error rate=(b+c)/(a+b+c+d)=1-Accuracy
正例的覆盖率=正确预测到的正例数/实际正例总数
Recall(True Positive Rate，or Sensitivity)=d/(c+d)
正例的命中率=正确预测到的正例数/预测正例总数
Precision(Positive Predicted Value,PV+)=d/(b+d)
负例的命中率=正确预测到的负例个数/预测负例总数
Negative predicted value(PV-)=a/(a+c)
通常将上述矩阵称为“分类矩阵”。一般情况下，我们比较关注响应变量取1的情形，将其称为Positive（正例），而将响应变量取0的情形称为Negative（负例）。常见的例子包括生物实验的响应、营销推广的响应以及信用评分中的违约等等。针对不同的问题与目的，我们通常采用ROC曲线与lift曲线作为评价logistic回归模型的指标。
1）ROC曲线
设置了两个相应的指标：TPR与FPR。
TPR：True Positive Rate（正例覆盖率），将实际的1正确地预测为1的概率，d/(c+d)。
FPR：False Positive Rate，将实际的0错误地预测为1的概率，b/(a+b)。
TPR也称为Sensitivity（即生物统计学中的敏感度），也可以称为“正例的覆盖率”——将实际为1的样本数找出来的概率。覆盖率是重要的指标，例如若分类的目标是找出潜在的劣质客户（响应变量取值为1），则覆盖率越大表示越多的劣质客户被找出。
类似地，1-FPR其实就是“负例的覆盖率”，也就是把负例正确地识别为负例的概率。
TPR与FPR相互影响，而我们希望能够使TPR尽量地大，而FPR尽量地小。影响TPR与FPR的重要因素就是上文提到的“阈值”。当阈值为0时，所有的样本都被预测为正例，因此TPR=1，而FPR=1。此时的FPR过大，无法实现分类的效果。随着阈值逐渐增大，被预测为正例的样本数逐渐减少，TPR和FPR各自减小，当阈值增大至1时，没有样本被预测为正例，此时TPR=0，FPR=0。
由上述变化过程可以看出，TPR与FPR存在同方向变化的关系（这种关系一般是非线性的），即，为了提升TPR（通过降低阈值），意味着FPR也将得到提升，两者之间存在类似相互制约的关系。我们希望能够在牺牲较少FPR的基础上尽可能地提高TPR，由此画出了ROC曲线。
ROC曲线的全称为“接受者操作特性曲线”（receiver operating characteristic），其基本形式为：
当预测效果较好时，ROC曲线凸向左上角的顶点。平移图中对角线，与ROC曲线相切，可以得到TPR较大而FPR较小的点。模型效果越好，则ROC曲线越远离对角线，极端的情形是ROC曲线经过（0，1）点，即将正例全部预测为正例而将负例全部预测为负例。ROC曲线下的面积可以定量地评价模型的效果，记作AUC，AUC越大则模型效果越好。
当我们分类的目标是将正例识别出来时（例如识别有违约倾向的信用卡客户），我们关注TPR，此时ROC曲线是评价模型效果的准绳。
2）lift曲线
在营销推广活动中，我们的首要目标并不是尽可能多地找出那些潜在客户，而是提高客户的响应率。客户响应率是影响投入产出比的重要因素。此时，我们关注的不再是TPR（覆盖率），而是另一个指标：命中率。
回顾前面介绍的分类矩阵，正例的命中率是指预测为正例的样本中的真实正例的比例，即d/(b+d)，一般记作PV。
在不使用模型的情况下，我们用先验概率估计正例的比例，即(c+d)/(a+b+c+d)，可以记为k。
定义提升值lift=PV/k。
lift揭示了logistic模型的效果。例如，若经验告诉我们10000个消费者中有1000个是我们的潜在客户，则我们向这10000个消费者发放传单的效率是10%（即客户的响应率是10%），k=(c+d)/(a+b+c+d)=10%。通过对这10000个消费者进行研究，建立logistic回归模型进行分类，我们得到有可能比较积极的1000个消费者，b+d=1000。如果此时这1000个消费者中有300个是我们的潜在客户，d=300，则命中率PV为30%。此时，我们的提升值lift=30%/10%=3，客户的响应率提升至原先的三倍，提高了投入产出比。
为了画lift图，需要定义一个新的概念depth深度，这是预测为正例的比例，(b+d)/(a+b+c+d)。
与ROC曲线中的TPR和FPR相同，lift和depth也都受到阈值的影响。
当阈值为0时，所有的样本都被预测为正例，因此depth=1，而PV=d/(b+d)=(0+d)/(0+b+0+d)=k，于是lift=1，模型未起提升作用。随着阈值逐渐增大，被预测为正例的样本数逐渐减少，depth减小，而较少的预测正例样本中的真实正例比例逐渐增大。当阈值增大至1时，没有样本被预测为正例，此时depth=0，而lift=0/0。
由此可见，lift与depth存在相反方向变化的关系。在此基础上作出lift图：
lift 曲线
与ROC曲线不同，lift曲线凸向（0，1）点。我们希望在尽量大的depth下得到尽量大的lift（当然要大于1），也就是说这条曲线的右半部分应该尽量陡峭。
至此，我们对ROC曲线和lift曲线进行了描述。这两个指标都能够评价logistic回归模型的效果，只是分别适用于不同的问题：
如果是类似信用评分的问题，希望能够尽可能完全地识别出那些有违约风险的客户（不使一人漏网），我们需要考虑尽量增大TPR（覆盖率），同时减小FPR（减少误杀），因此选择ROC曲线及相应的AUC作为指标；
如果是做类似数据库精确营销的项目，希望能够通过对全体消费者的分类而得到具有较高响应率的客户群，从而提高投入产出比，我们需要考虑尽量提高lift（提升度），同时depth不能太小（如果只给一个消费者发放传单，虽然响应率较大，却无法得到足够多的响应），因此选择lift曲线作为指标。
3）相关R应用包
普通二分类 logistic 回归 用系统的 glm
因变量多分类 logistic 回归
有序分类因变量：用 MASS 包里的 polrb
无序分类因变量：用 nnet 包里的 multinom
条件logistic回归，用 survival 包里的 clogit
二、相关应用例子：Binary Logistic（因变量只能取两个值1和0虚拟因变量）
案例一：本文用例来自于John Maindonald所著的《Data Analysis and Graphics Using R》一书，其中所用的数据集是anesthetic，数据集来自于一组医学数据，其中变量conc表示麻醉剂的用量，move则表示手术病人是否有所移动，而我们用nomove做为因变量，因为研究的重点在于conc的增加是否会使nomove的概率增加。
首先载入数据集并读取部分文件，为了观察两个变量之间关系，我们可以利cdplot函数来绘制条件密度图
install.packages("DAAG")
library(lattice)
library(DAAG)
head(anesthetic)
move conc logconc nomove
1 0 1.0 0.0000000 1
2 1 1.2 0.1823216 0
3 0 1.4 0.3364722 1
4 1 1.4 0.3364722 0
5 1 1.2 0.1823216 0
6 0 2.5 0.9162907 1
cdplot(factor(nomove)~conc,data=anesthetic,main='条件密度图',ylab='病人移动',xlab='麻醉剂量')
从图中可见，随着麻醉剂量加大，手术病人倾向于静止。下面利用logistic回归进行建模，得到intercept和conc的系数为-6.47和5.57，由此可见麻醉剂量超过1.16(6.47/5.57)时，病人静止概率超过50%。
anes1=glm(nomove~conc,family=binomial(link='logit'),data=anesthetic)
summary(anes1)
结果显示：
Call:
glm(formula = nomove ~ conc, family = binomial(link = "logit"),
data = anesthetic)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.76666 -0.74407 0.03413 0.68666 2.06900
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -6.469 2.418 -2.675 0.00748 **
conc 5.567 2.044 2.724 0.00645 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 41.455 on 29 degrees of freedom
Residual deviance: 27.754 on 28 degrees of freedom
AIC: 31.754
Number of Fisher Scoring iterations: 5
下面做出模型的ROC曲线
anes1=glm(nomove~conc,family=binomial(link='logit'),data=anesthetic)
对模型做出预测结果
pre=predict(anes1,type='response')
将预测概率pre和实际结果放在一个数据框中
data=data.frame(prob=pre,obs=anesthetic$nomove)
将预测概率按照从低到高排序
data=data[order(data$prob),]
n=nrow(data)
tpr=fpr=rep(0,n)
根据不同的临界值threshold来计算TPR和FPR，之后绘制成图
for (i in 1:n){
threshold=data$prob[i]
tp=sum(data$prob>threshold&data$obs==1)
fp=sum(data$prob>threshold&data$obs==0)
tn=sum(data$prob
fn=sum(data$prob
tpr[i]=tp/(tp+fn) #真正率
fpr[i]=fp/(tn+fp) #假正率
}
plot(fpr,tpr,type='l')
abline(a=0,b=1)
R中也有专门绘制ROC曲线的包，如常见的ROCR包，它不仅可以用来画图，还能计算ROC曲线下面面积AUC,以评价分类器的综合性能，该数值取0-1之间，越大越好。
library(ROCR)
pred=prediction(pre,anesthetic$nomove)
performance(pred,'auc')@y.values
perf=performance(pred,'tpr','fpr')
plot(perf)
还可以使用更加强大的pROC包，它可以方便的比较两个分类器，并且能自动标出最优临界点，图形看起来比较漂亮：
install.packages("pROC")
library(pROC)
modelroc=roc(anesthetic$nomove,pre)
plot(modelroc,print.auc=TRUE,auc.polygon=TRUE,grid=c(0.1,0.2),grid.col=c("green","red"),max.auc.polygon=TRUE,auc.polygon.col="blue",print.thres=TRUE)
上面的方法是使用原始的0-1数据进行建模,即每一行数据均表示一个个体，另一种是使用汇总数据进行建模，先将原始数据按下面步骤进行汇总
anestot=aggregate(anesthetic[,c('move','nomove')],by=list(conc=anesthetic$conc),FUN=sum)
结果如下：
conc move nomove
1 0.8 6 1
2 1.0 4 1
3 1.2 2 4
4 1.4 2 4
5 1.6 0 4
6 2.5 0 2
anestot$conc=as.numeric(as.character(anestot$conc))
anestot$total=apply(anestot[,c('move','nomove')],1,sum)
anestot$total
[1] 7 5 6 6 4 2
anestot$prop=anestot$nomove/anestot$total
anestot$prop
[1] 0.1428571 0.2000000 0.6666667 0.6666667 1.0000000 1.0000000
对于汇总数据，有两种方法可以得到同样的结果，一种是将两种结果的向量合并做为因变量，如anes2模型。另一种是将比率做为因变量，总量做为权重进行建模，如anes3模型。这两种建模结果是一样的。
anes2=glm(cbind(nomove,move)~conc,family=binomial(link='logit'),data=anestot)
summary(anes2)
结果显示如下：
Call:
glm(formula = cbind(nomove, move) ~ conc, family = binomial(link = "logit"),
data = anestot)
Deviance Residuals:
1 2 3 4 5 6
0.20147 -0.45367 0.56890 -0.70000 0.81838 0.04826
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>z)
(Intercept) -6.469 2.419 -2.675 0.00748 **
conc 5.567 2.044 2.724 0.00645 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 15.4334 on 5 degrees of freedom
Residual deviance: 1.7321 on 4 degrees of freedom
AIC: 13.811
Number of Fisher Scoring iterations: 5
anes3=glm(prop~conc,family=binomial(link='logit'),weights=total,data=anestot)
结果和上面的一样。
根据logistic模型，我们可以使用predict函数来预测结果，下面根据上述模型来绘图
x=seq(from=0,to=3,length.out=30)
y=predict(anes1,data.frame(conc=x),type='response')
plot(prop~conc,pch=16,col='red',data=anestot,xlim=c(0.5,3),main='Logistic回归曲线图',ylab='病人静止概率',xlab='麻醉剂量')
lines(y~x,lty=2,col='blue')
案例二：利用iris数据集，进行逻辑回归二分类测试，该数据集是R语言自带得数据集，包括四个属性，和三个分类。逻辑回归我们用glm函数实现，该函数提供了各种类型的回归，如：提供正态、指数、gamma、逆高斯、Poisson、二项。我们用的logistic回归使用的是二项分布族binomial。
index <- which(iris$Species == 'setosa')
将种类为setosa的数据排除出我们需要的数据集
ir <- iris[- index,]
levels(ir$Species)[1] <- ''
生成训练集
split <- sample(100,100*(2/3))
ir_train <- ir[split,]
生成测试集 ir_test <- ir[-split,]
通过训练集建立模型 model <- glm(Species ~.,family=binomial(link='logit'),data=ir_train)
summary(model)
模型运行结果：
Call:
glm(formula = Species ~ ., family = binomial(link = "logit"),data = ir_train)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.339e-04 -2.100e-08 2.100e-08 2.100e-08 1.059e-04
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>z)
(Intercept) -1502.72 363247.01 -0.004 0.997
Sepal.Length 12.45 66482.13 0.000 1.000
Sepal.Width -285.61 95437.92 -0.003 0.998
Petal.Length 154.76 115968.97 0.001 0.999
Petal.Width 869.60 204513.80 0.004 0.997
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 9.0949e+01 on 65 degrees of freedom
Residual deviance: 4.0575e-08 on 61 degrees of freedom
AIC: 10
Number of Fisher Scoring iterations: 25
通过anova()函数 对模型进行方差分析
anova(model, test="Chisq")
方差分析如下：
Analysis of Deviance Table
Model: binomial, link: logit
Response: Species
Terms added sequentially (first to last)
Df Deviance Resid. Df Resid. Dev Pr(>Chi)
NULL 65 90.949
Sepal.Length 1 18.934 64 72.015 1.353e-05 ***
Sepal.Width 1 0.131 63 71.884 0.7176
Petal.Length 1 51.960 62 19.924 5.665e-13 ***
Petal.Width 1 19.924 61 0.000 8.058e-06 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
下面通过McFadden R2指标进一步对模型进行分析
install.packages("pscl")
library(pscl)
pR2(model)
llh llhNull G2 McFadden r2ML r2CU
-2.028752e-08 -4.547461e+01 9.094922e+01 1.000000e+00 7.479224e-01 1.000000e+00
为了得到分类结果，需要设定一个阈值p0——当p大于p0时，认为该样本的响应变量为1，否则为0。阈值大小对模型的预测效果有较大影响，需要进一步考虑。首先必须明确模型预测效果的评价指标。
求解训练模型的最佳阀值
对模型做出预测结果
model <- glm(Species ~.,family=binomial(link='logit'),data=ir_train)
pre1=predict(model,type='response')
将预测概率pre1和实际结果放在一个数据框中
data1=data.frame(prob=pre1,obs=ifelse(ir_train$Species=="virginica",1,0))
将预测概率按照从低到高排序
data1=data1[order(data1$prob),]
n=nrow(data1)
tpr=fpr=rep(0,n)
根据不同的临界值threshold来计算TPR和FPR，之后绘制成图
for (i in 1:n){
threshold=data1$prob[i]
tp=sum(data1$prob>threshold&data1$obs==1)
fp=sum(data1$prob>threshold&data1$obs==0)
tn=sum(data$prob
fn=sum(data$prob
tpr[i]=tp/(tp+fn) #真正率
fpr[i]=fp/(tn+fp) #假正率
}
plot(fpr,tpr,type='l')
abline(a=0,b=1)
下面通过pROC包自动标出最优临界点(0.506)
install.packages("pROC")
library(pROC)
modelroc1=roc(ifelse(ir_train$Species=="virginica",1,0),pre1)
plot(modelroc1,print.auc=TRUE,auc.polygon=TRUE,grid=c(0.1,0.2),grid.col=c("green","red"),max.auc.polygon=TRUE,auc.polygon.col="skyblue",print.thres=TRUE)
评估模型的预测效果
predict <- predict(model,type='response',newdata=ir_test)
predict.results <- ifelse( predict> 0.506,"virginica","versicolor")
misClasificError <- mean(predict.results != ir_test$Species)
print(paste('Accuracy',1-misClasificError))
[1] "Accuracy 1"
最后一步，我们将通过画ROC曲线，并计算其AUC面积，作为评估二类分类效果的一个典型测量
install.packages("ROCR")
library(gplots)
library(ROCR)
p <- predict(model,type='response',newdata=ir_test)
p.results <- ifelse( p> 0.5,1,0)
pr <- prediction(p.results, ifelse(ir_test$Species=="virginica",1,0))
prf <- performance(pr, measure = "tpr", x.measure = "fpr")
plot(prf)
auc <- performance(pr, measure = "auc")
auc <- auc@y.values[[1]]
0.9285714
auc
real <- ir_test$Species
data.frame(real,predict)
res <- data.frame(real,predict =ifelse(predict>0.5,'virginca','versicorlor'))
查看模型效果
plot(res)