数据结构和算法——kd树
一、K-近邻算法
K-近邻算法是一种典型的无参监督学习算法，对于一个监督学习任务来说，其mm个训练样本为：
{(X(1),y(1)),(X(2),y(2)),⋯,(X(m),y(m))}
\left \{ \left ( X^{\left ( 1 \right )},y^{\left ( 1 \right )} \right ),\left ( X^{\left ( 2 \right )},y^{\left ( 2 \right )} \right ),\cdots ,\left ( X^{\left ( m \right )},y^{\left ( m \right )} \right ) \right \}
在K-近邻算法中，无需利用训练样本学习出统一的模型，对于一个新的样本，如XX，通过比较样本XX与mm个训练样本的相似度，选择出kk个最相似的样本，并以这kk个样本的标签作为样本XX的标签。
在如上的描述中，样本XX需要分别与mm个训练样本计算相似度，通常，使用的相似度的计算方法为欧式距离，即对于样本Xi={xi,1,xi,2,⋯,xi,n}X_i=\left \{ x_{i,1},x_{i,2},\cdots ,x_{i,n} \right \}和样本Xj={xj,1,xj,2,⋯,xj,n}X_j=\left \{ x_{j,1},x_{j,2},\cdots ,x_{j,n} \right \}，其两者之间的相似度为：
S=∑t=1n(xi,t−xj,t)2−−−−−−−−−−−−−√
S=\sqrt{\sum_{t=1}^{n}\left ( x_{i,t}-x_{j,t} \right )^2}
对于K-近邻算法的具体过程，可以参见博文简单易学的机器学习算法——K-近邻算法。
在K-近邻算法的计算过程中，通过暴力的对每一对样本计算其相似度是非常好费时间的，那么是否存在一种方法，能够加快计算的速度？kd树便是其中的一种方法。
二、kd树
kd树是一种对kk维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构，且kd树是一种二叉树，表示对kk维空间的一个划分。
1、二叉排序树
在数据结构中，二叉排序树又称二叉查找树或者二叉搜索树。其定义为：二叉排序树，或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
一个典型的二叉排序树的例子如下图所示：
在二叉排序树中，若以中序遍历，则得到的是按照值大小排序的结果，即1->3->4->6->7->8->10->13->14。
如果需要检索7，则从根结点开始：
- 7<87<8->左子树
- 7>37>3->右子树
- 7>67>6->右子树
- 7=77=7->查找结束
但是，对于二叉排序树的建立，若构建二叉排序树的顺序为基本有序时，如按照1->3->4->6->7->8->10->13->14构建二叉排序树，会得到如下的结果：
这样的话，检索效率会下降，为了避免这样的情况的出现，会对二叉树设置一些条件，如平衡二叉树。对于二叉排序树的更多内容，可以参见数据结构和算法——二叉排序树。
2、kd树的概念
kd树与二叉排序树的基本思想类似，与二叉排序树不同的是，在kd树中，每一个节点表示的是一个样本，通过选择样本中的某一维特征，将样本划分到不同的节点中，如对于样本{(7,2),(5,4),(9,6)}\left \{ \left ( 7,2 \right ),\left ( 5,4 \right ),\left ( 9,6 \right ) \right \}， 考虑数据的第一维，首先，根节点为{(7,2)}\left \{ \left ( 7,2 \right )\right \}，由于样本{(5,4)}\left \{ \left ( 5,4 \right )\right \}的第一维55小于77，因此，样本{(5,4)}\left \{ \left ( 5,4 \right )\right \}在根节点的左子树上，同理，样本{(9,6)}\left \{ \left ( 9,6 \right )\right \}在根节点的右子树上。通过第一维可以构建如下的二叉树模型：
在kd树的基本操作中，主要包括kd树的建立和kd树的检索两个部分。
3、kd树的建立
构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将kk维空间切分成一系列的kk维超矩阵区域。选择划分节点的方法主要有两种：
- 顺序选择，即按照数据的顺序依次在kd树中插入节点；
- 选择待划分维数的中位数为划分的节点。在kd树的构建过程中，为了防止出现只有左子树或者只有右子树的情况出现，通常对于每一个节点，选择样本中的中位数作为切分点。这样构建出来的kd树时平衡的。
在李航的《统计机器学习》P41中有提到：平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。
在构建kd树的过程中，也可以根据插入数据的顺序构建kd树，以二维数据集为例，其数据的顺序依次为：
{(3,6),(7,5),(3,1),(6,2),(9,1),(2,7)}
\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ),\left ( 3,1 \right ),\left ( 6,2 \right ),\left ( 9,1 \right ),\left ( 2,7 \right ) \right \}
对于如上的二维数据集，构建kd树：
- 选择一维最为切分的维度，如选择第00维，第一个数为(3,6)\left ( 3,6 \right )，其第00维的值为33，以(3,6)\left ( 3,6 \right )作为kd树的根结点，若第00维的值大于33为右子树，否则插入到左子树中；
- 对后续的节点依次判断，如(7,5)\left ( 7,5 \right )，选择第00维，其值为77，大于33，插入到根结点的右子树中，设置其维数为除了第00维以外的任一维。。。
按照如上的过程，我们划分出来的kd树如下图所示：
此时，将样本按照特征空间划分如下图所示：
由以上的计算过程可以看出对于树中节点，需要有数据项，当前节点的比较维度，指向左子树的指针和指向右子树的指针，可以设置其结构如下：
#define MAX_LEN 1024
typedef struct KDtree{
double data[MAX_LEN]; // 数据
int dim; // 选择的维度
struct KDtree *left; // 左子树
struct KDtree *right; // 右子树
}kdtree_node;构造kd树的函数声明为：
int kdtree_insert(kdtree_node *&tree_node, double *data, int layer, int dim);函数的具体实现如下：
// 递归构建kd树，通过节点所在的层数控制选择的维度
int kdtree_insert(kdtree_node * &tree_node, double *data, int layer, int dim){
// 空树
if (NULL == tree_node){
// 申请空间
tree_node = (kdtree_node *)malloc(sizeof(kdtree_node));
if (NULL == tree_node) return 1;
//插入元素
for (int i = 0; i < dim; i ++){
(tree_node->data)[i] = data[i];
}
tree_node->dim = layer % (dim);
tree_node->left = NULL;
tree_node->right = NULL;
return 0;
}
// 插入左子树
if (data[tree_node->dim] <= (tree_node->data)[tree_node->dim]){
return kdtree_insert(tree_node->left, data, ++layer, dim);
}
// 插入右子树
return kdtree_insert(tree_node->right, data, ++layer, dim);
}当构建好了kd树后，需要对kd树进行遍历，在这里，实现了两种kd树的遍历方法：
- 先序遍历
- 中序遍历
对于先序遍历，其函数的声明为：
void kdtree_print(kdtree_node *tree, int dim);函数的具体实现为：
void kdtree_print(kdtree_node *tree, int dim){
if (tree != NULL){
fprintf(stderr, "dim:%d\n", tree->dim);
for (int i = 0; i < dim; i++){
fprintf(stderr, "%lf\t", (tree->data)[i]);
}
fprintf(stderr, "\n");
kdtree_print(tree->left, dim);
kdtree_print(tree->right, dim);
}
}对于中序遍历，其函数的声明为：
void kdtree_print_in(kdtree_node *tree, int dim);函数的具体实现为：
void kdtree_print_in(kdtree_node *tree, int dim){
if (tree != NULL){
kdtree_print_in(tree->left, dim);
fprintf(stderr, "dim:%d\n", tree->dim);
for (int i = 0; i < dim; i++){
fprintf(stderr, "%lf\t", (tree->data)[i]);
}
fprintf(stderr, "\n");
kdtree_print_in(tree->right, dim);
}
}4、kd树的检索
与二叉排序树一样，在kd树中，将样本划分到不同的空间中，在查找的过程中，由于查找在某些情况下仅需查找部分的空间，这为查找的过程节省了对大部分数据点的搜索的时间，对于kd树的检索，其具体过程为：
- 从根节点开始，将待检索的样本划分到对应的区域中（在kd树形结构中，从根节点开始查找，直到叶子节点，将这样的查找序列存储到栈中）
- 以栈顶元素与待检索的样本之间的距离作为最短距离min_distance
- 执行出栈操作：
- 向上回溯，查找到父节点，若父节点与待检索样本之间的距离小于当前的最短距离min_distance，则替换当前的最短距离min_distance
- 以待检索的样本为圆心（二维，高维情况下是球心），以min_distance为半径画圆，若圆与父节点所在的平面相割，则需要将父节点的另一棵子树进栈，重新执行以上的出栈操作
- 直到栈为空
以查找(6,3)\left ( 6,3 \right )为例，首先，我们需要找到待查找的样本所在的搜索空间，搜索空间如下图中的黑色区域所示：
其对应的进栈序列为：{(3,6),(7,5),(6,2)}\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ),\left ( 6,2 \right ) \right \}。
此时，以到(6,2)\left ( 6,2 \right )之间的距离为最短距离，最短距离min_distance为1，对栈顶元素出栈，此时栈中的序列为：{(3,6),(7,5)}\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ) \right \}。以待检索样本(6,3)\left ( 6,3 \right )为圆心，1为半径画圆，圆与(6,2)\left ( 6,2 \right )所在平面相割，如下图所示：
此时，需要检索以(6,2)\left ( 6,2 \right )为根节点的另外一棵子树，即需要将(9,1)\left ( 9,1 \right )进栈，此时，栈中的序列为：{(3,6),(7,5),(9,1)}\left \{ \left ( 3,6 \right ),\left ( 7,5 \right ),\left ( 9,1 \right ) \right \}。
注意：若需要进栈的子树中有很多节点，则根据需要比较的元素的大小，将直到叶节点的所有节点都进栈，这一点在很多地方都写得不清楚。
按照上述的步骤，再执行出栈的操作，直到栈为空。
检索过程的函数声明为：
void search_nearest(kdtree_node *tree, double *data_search, int dim, double *result);函数的具体实现为：
void search_nearest(kdtree_node *tree, double *data_search, int dim, double *result){
// 一直找到叶子节点
fprintf(stderr, "\nstart searching....\n");
stack<kdtree_node *> st;
kdtree_node *p = tree;
while (p->left != NULL || p->right != NULL){
st.push(p);// 将p压栈
if (data_search[p->dim] <= (p->data)[p->dim]){// 选择左子树
// 判断左子树是否为空
if (p->left == NULL) break;
p = p->left;
}else{ // 选择右子树
if (p->right == NULL) break;
p = p->right;
}
}
// 现在与栈中的数据进行对比
double min_distance = distance(data_search, p->data, dim);// 与根结点之间的距离
fprintf(stderr, "init: %lf\n", min_distance);
copy2result(p->data, result, dim);
// 打印最优值
for (int i = 0; i < dim; i++){
fprintf(stderr, "%lf\t", result[i]);
}
fprintf(stderr, "\n");
double d = 0;
while (st.size() > 0){
kdtree_node *q = st.top();// 找到栈顶元素
st.pop(); // 出栈
// 判断与父节点之间的距离
d = distance(data_search, q->data, dim);
if (d <= min_distance){
min_distance = d;
copy2result(q->data, result, dim);
}
// 判断与分隔面是否相交
double d_line = distance_except_dim(data_search, q->data, q->dim); // 到平面之间的距离
if (d_line < min_distance){ // 相交
// 如果本来在右子树，现在查找左子树
// 如果本来在左子树，现在查找右子树
if (data_search[q->dim] > (q->data)[q->dim]){
// 选择左子树
if (q->left != NULL) q = q->left;
else q = NULL;
}else{
// 选择右子树
if (q->right != NULL) q = q->right;
else q = NULL;
}
if (q != NULL){
while (q->left != NULL || q->right != NULL){
st.push(q);
if (data_search[q->dim] <= (q->data)[q->dim]){
if (q->left == NULL) break;
q = q->left;
}else{
if (q->right == NULL) break;
q = q->right;
}
}
if (q->left == NULL && q->right == NULL) st.push(q);
}
}
}
}在函数的实现中，需要用到的函数为：
- 两个样本之间的距离
double distance(double *a, double *b, int dim){
double d = 0.0;
for (int i = 0; i < dim; i ++){
d += (a[i] - b[i]) * (a[i] - b[i]);
}
return d;
}- 待检索的样本到平面之间的距离
double distance_except_dim(double *a, double *b, int except_dim){
double d = (a[except_dim] - b[except_dim]) * (a[except_dim] - b[except_dim]);
return d;
}- 复制最优的结果
void copy2result(double *a, double *result, int dim){
for (int i = 0; i < dim; i ++){
result[i] = a[i];
}
}三、测试
利用如上的测试集，我们构建kd树，并在kd树中查找(6,3)\left ( 6,3 \right )，测试代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include "kdtree.h"
// 解析特征
int parse_feature(char *p, double *fea, int *dim){
// 解析特征
char *q = p;
int i = 0;
while ((q = strchr(p, '\t')) != NULL){
*q = 0;
fea[i] = atof(p);
//fprintf(stderr, "atof(p):%lf\n", atof(p));
p = q + 1;
//r = r + 1;
i += 1;
}
// 解析最后一个
fea[i] = atof(p);
*dim = i + 1;
//fprintf(stderr, "atof(p):%lf\n", atof(p));
//fprintf(stderr, "fea:%lf\t%lf\n", fea[0], fea[1]);
}
int main(){
kdtree_node *tree_node = NULL;
// 从文件中读入数据
FILE *fp = fopen("data.txt", "r");
char feature[MAX_LEN];
double data[MAX_LEN];
int data_dim = 0; // 数据的维数
double data_search[2] = {6.0, 3.0};
while (fgets(feature, MAX_LEN, fp)){
fprintf(stderr, "%s", feature);
parse_feature(feature, data, &data_dim);
fprintf(stderr, "distance: %lf\n", distance(data, data_search, data_dim));
// 插入到kd树中
kdtree_insert(tree_node, data, 0, data_dim);
}
fclose(fp);
fprintf(stderr, "dim:%d\n", data_dim);
fprintf(stderr, "insert_ok\n");
// test
kdtree_print(tree_node, data_dim);
printf("\n");
kdtree_print_in(tree_node, data_dim);
double result[2];
search_nearest(tree_node, data_search, data_dim, result);
fprintf(stderr, "\n the final result: ");
for (int i = 0; i < data_dim; i++){
fprintf(stderr, "%lf\t", result[i]);
}
fprintf(stderr, "\n");
return 0;
}以上的代码以上处至Github，其地址为：kd-tree。若有不对的地方，欢迎指正。