【编程之美】最短路径

任意给定两个数字A和B，通过将A和6个数（7，-7，5，-5，12，-12）做加减运算，运算次数不限，每个数可以被使用多次，求从A到B最少要经过多少次运算？

比如：A=0， B=19，从A到B的一条路径为{0，7，19},经过2次运算得到。{0, 5, 12，19}也是符合要求的一条路径，但是需要经过3次运算才可以得到。所以最少要经过2次运算才可以实现从0到19.

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class

解题思路：

方案一：ＤＰ从A到B，可以简化为从0到abs(A-B)

设S[i]为从0到i的最短路径

那么 S[i]=min(S[v]+S[i-v])

方案二：限制条件: det=12a+7b+5c

目标函数: S=|a|+|b|+|c|

a,b,c若有一个以上为0,则变成二元整数线性规划的问题,好像是经典问题,易解。

如果三者都不为零,则:

如果b,c同号,则一个(7+5)用一个12代替,可以得到更优解

如果b,c异号,则其中必有一个与a异号,(12-7)用5代替,或(12-5)用7代替,可以得到更优解

综上,最优解中,a,b,c肯定至少有一个为0

所以分别做3次二元线性规划,取最优的即可

方案三：题意中的12,-12完全没意义，因为可以用(7,5) (-7,-5)代替。

因此只需要考虑(7,-7,5,-5)。

A + (7x+5y) = B 　-> 7x+5y=(B-A)

ax+by=d

然后扩展欧几里得算法。

code也是一种艺术，它能展现出自己的美。