错排公式

错排公式

百科名片

pala提出的问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法? 这个问题推广一下,就是错排问题: n个有序的元素应有n!种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上,则称这个排列为错排。

目录

递推的方法推导错排公式容斥原理简化公式

编辑本段递推的方法推导错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

综上得到

M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

特殊地,M⑴=0,M⑵=1

下面通过这个递推关系推导通项公式:

为方便起见,设M(k)=k!N(k),(k=1,2,…,n)

则N⑴=0,N⑵=1/2

n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)

即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)

于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N⑵-N⑴]=(-1)^n/n!

因此

N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!

N⑵-N⑴=(-1)^2/2!

相加,可得

N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!

因此

M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]

可以得到

错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)

编辑本段容斥原理

正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种,其中第k位是k的排列有(n-1)!,当k取1、2、3、……、n时,共有n*(n-1)!种排列,由于是错排,这些排列应排除,但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次,应补上;在补上时,把同时有三个数不错排的排列多补上了一次,应排除;……;继续这一过程,得到错排的排列种数为

M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1)^k*n!/k!

即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]

注:sigma表示连加符号,(k=2~n)是连加的范围

编辑本段简化公式

另外:书上的错排公式为Dn=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1)^n/n!)(注:0!=1,参见阶乘),此公式算n很大时就很不方便.后来发现它可以用级数知识化简为1个优美的式子Dn=[n!/e+0.5] (e,即自然对数的底 ,[x]为取整函数即x向下取整.)

公式证明较简单.观察一般书上的公式,可以发现e-1的前项与之相同,然后作比较可得/Dn-n!e-1/<1/(n+1)<0.5,于是就得到这个简单而优美的公式(此仅供参考

看完这些估计可以做出这道题啦!!

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049

这道题的做法是求第N个数种的有几个错排的种数。  m=C(n,m)*f(m);然后就可以直接写代码了。。。。

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     
 6     int m,n,i,j,t;
 7     long long arr[21]={0,0,1},sum1,sum2;
 8     for(i=3;i<=20;i++)
 9     {
10         arr[i]=(i-1)*(arr[i-1]+arr[i-2]);
11     }
12     while(cin>>n>>m)
13     {
14         sum1=sum2=1;
15         for(i=m,j=n;i>0;i--,j--)
16         {
17           sum1*=i,sum2*=j;
18         }
19 
20         cout<<(sum2/sum1)*arr[m]<<endl;
21     }
22     return 0;
23 }

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1465

//直接错排公式就行了....f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2));
//或者 f(n)=n!(1/2!-1/3!+......(-1)^n/n!);
//或者 f(n)=【n!/e+0.5】;
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    long long arr[21]={0,0,1};
    for(int i=3;i<=20;i++)
        {
         arr[i]=(i-1)*(arr[i-1]+arr[i-2]);
        }
    int n;
    while(cin>>n)
        cout<<arr[n]<<endl;;
    return 0;
}

暂且就归纳这么多吧!!以后再续不.....

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