Fibonacci again and again
Problem Description
任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生,它是这样定义的: F(1)=1; F(2)=2; F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3); 所以,1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。 在HDOJ上有不少相关的题目,比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。 今天,又一个关于Fibonacci的题目出现了,它是一个小游戏,定义如下: 1、 这是一个二人游戏; 2、 一共有3堆石子,数量分别是m, n, p个; 3、 两人轮流走; 4、 每走一步可以选择任意一堆石子,然后取走f个; 5、 f只能是菲波那契数列中的元素(即每次只能取1,2,3,5,8…等数量); 6、 最先取光所有石子的人为胜者; 假设双方都使用最优策略,请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。
Input
输入数据包含多个测试用例,每个测试用例占一行,包含3个整数m,n,p(1<=m,n,p<=1000)。 m=n=p=0则表示输入结束。
Output
如果先手的人能赢,请输出“Fibo”,否则请输出“Nacci”,每个实例的输出占一行。
Sample Input
1 1 1 1 4 1 0 0 0
Sample Output
Fibo Nacci
Author
lcy
Source
ACM Short Term Exam_2007/12/13
代码:
SG函数(模板)
1 //f[]:可以取走的石子个数
2 //sg[]:0~n的SG函数值
3 //hash[]:mex{}
4 int f[N],sg[N],hash[N];
5 void getSG(int n)
6 {
7 int i,j;
8 memset(sg,0,sizeof(sg));
9 for(i=1;i<=n;i++)
10 {
11 memset(hash,0,sizeof(hash));
12 for(j=1;f[j]<=i;j++)
13 hash[sg[i-f[j]]]=1;
14 for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数
15 {
16 if(hash[j]==0)
17 {
18 sg[i]=j;
19 break;
20 }
21 }
22 }
23 }
模板二,采用的是广搜:
1 模板二:
2 //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
3 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
4 int s[110],sg[10010],n;
5 int SG_dfs(int x)
6 {
7 int i;
8 if(sg[x]!=-1)
9 return sg[x];
10 bool vis[110];
11 memset(vis,0,sizeof(vis));
12 for(i=0;i<n;i++)
13 {
14 if(x>=s[i])
15 {
16 SG_dfs(x-s[i]);
17 vis[sg[x-s[i]]]=1;
18 }
19 }
20 int e;
21 for(i=0;;i++)
22 if(!vis[i])
23 {
24 e=i;
25 break;
26 }
27 return sg[x]=e;
28 }
相关知识:
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]
例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
sg[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;
x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;
x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;
x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
计算从1-n范围内的SG值。
f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)
f[]需要从小到大排序
1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步,SG(x) = x;
3.可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算
此题的代码:
是SG的尼姆博弈,算得上是组合博弈吧!
代码:
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 int f[20]={1,1},hash[20];
4 int sg[1001];
5 void Getfabo( void )
6 {
7 for(int i=2;i<=1000;i++)
8 {
9 f[i]=f[i-1]+f[i-2];
10 if(f[i]>1000)
11 break;
12 }
13 }
14 void Getsg( void )
15 {
16 int i,j;
17 Getfabo();
18 memset(sg,0,sizeof sg);
19 for(i=0;i<=1000;i++)
20 {
21 memset(hash,0,sizeof hash);
22 for( j=1; f[j]<=i;j++)
23 hash[sg[i-f[j]]]=1;
24 for( j=0; j<=1000;j++)
25 if(hash[j]==0)
26 {
27 sg[i]=j;
28 break;
29 }
30 }
31 }
32 int main()
33 {
34
35 int a,b,c;
36 Getsg();
37 while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a+b+c)
38 printf((sg[a]^sg[b]^sg[c])!=0?"Fibo\n":"Nacci\n");
39 return 0;
40 }