回归模型的一个隐藏指标，你知道吗？

假设现在有一个线性回归模型：

人均GDP = a第一产业产值 + b工业产值 + c建筑业产值 + d第三产业产值 + e

PS：人均GDP单位元，各产业产值单位亿元，为方便说明，这里举一个简单的例子。

一般而言，我们通常从那几个指标去分析这个模型？

• 看系数，比如第一产值每增长1亿元，人均GDP平均增长a元。
• 看P值，比如系数a的P值为0.025，说明第一产业产值对人均GDP的增长作用是显著的。
• 看R2，比如 R2=0.95，说明这几个产业的产值，对人均GDP的解释能力为95%。

我们常用的分析指标差不多是这些，其他 t值、F值、DW值等都是对模型本身的各种检验，对于业务分析没有太多帮助。

本文介绍一个指标，从另一个角度进行分析：各自变量对因变量的贡献率。

一、贡献率的计算

仍以上面回归模型为例，这个贡献率就是 各产业值 对 人均GDP 的 贡献率。

如果各个产业值对人均GDP的作用都显著，P值都是10的-5次方以下，系数也都相差不大（系数很大程度上是由量级决定的），那么：

我们如何衡量这几个因素的重要性？

贡献率 或许可以解决这个问题。

如何衡量贡献率？目前似乎还没有一种教科书式的定义（如果有，欢迎同步给我），paper中比较多的衡量方法是：

引入该因子之后，引起的模型R2的变化，即 贡献率 = delta R2。

这种方法其实也就是 R2 再细化到每个因子——看每个因子引起的R2的增长情况，以此来作为贡献率。

也有人用其他方法衡量：

某因子标准化系数的绝对值 / 各因子标准化系数绝对值之和

下面用实例来说明一下。

二、实例计算

刚才的例子，我们用某个国家36年的经济数据为例：

我们用 stepwise 跑出线性回归模型：

图1 回归模型结果(1)

图2 回归模型结果(2)

我们主要关注最终被stepwise确定的模型，也就是表中的 model 4。

可以看到：

• 所有的因素都显著（P-value<0.05），即第一产业、工业、建筑业、第三产业对人均GDP均有显著促进作用；
• R2 为 1，即这四个因素对人均GDP的解释能力为100%
• 系数（表中B）都在一个量级，如：
  • 工业的系数为0.85，代表工业产值每提高1亿元，人均GDP平均提高0.085元；
  • 第一产业的系数为0.128，代表第一产业产值每提高1亿元，人均GDP平均提高0.128元
  • 其他省略。

一般来说，我们分析的指标差不多是这些，现在我们来计算一下贡献率：

（1）delta R2 法

每个因子引入之后，R2的变化如下：

图3 delta R2 结果

• delta R2 (工业) = 0.998
• delta R2 (第三产业) = 0.001
• delta R2 (第一产业) = 0.000
• delta R2 (建筑业) = 0.000

虽然每个因素都是显著的，但从贡献率角度我们发现，工业对该国人均GDP的贡献率最大，有99.8%，其他的贡献率一共才0.2%。

（2）标准化系数法

这个我们从图2中 Beta 栏即可计算出来：

• delta R2 (工业) = 0.447 / ( 0.447+0.355+0.168+0.031 ) = 0.447
• delta R2 (第三产业) = 0.355 / ( 0.447+0.355+0.168+0.031 ) = 0.355
• delta R2 (第一产业) = 0.168 / ( 0.447+0.355+0.168+0.031 ) = 0.168
• delta R2 (建筑业) = 0.031 / ( 0.447+0.355+0.168+0.031 ) = 0.031

工业仍然是贡献率最高的，占44.7%，其次第三产业35.5%、第一产业16.8%、建筑业3.1%.

两种方法虽然值有差别，但贡献率排序是一样的。

三、演示 及 code

（1）SPSS

在 SPSS 中，我们可以直接得到两种方法的结果，上面的结果图，就是SPSS的结果。

标准化系数，SPSS默认就有，delta R2，需要在 linear regression - statistics 中，勾选 R squared change：

图4 SPSS 勾选 R squared change

（2）SAS

SAS同样可以：

• delta R2 法

图5 delta R2贡献率 SAS结果

PS：x3-工业产值；x2-第三产业产值；x1-第一产业产值；x4-建筑业产值

• 标准化系数法

图6 标准化系数贡献率 SAS 结果