《大话脑成像》系列之十一：浅谈广义线性模型（--设计矩阵和对比矩阵）

咳咳，这篇短文继续讲统计。（老实说，下面的内容比较严肃与难懂，如果你觉得实在太晦涩，建议放弃吧，我们之间是不可能的）

学过统计的都知道，统计方法如单样本检验、双样本检验、方差分析都有公式直接计算。然而SPM，FSL等软件里的统计用的广义线性模型，而不是统计公式。因为在某些情况下，直接用统计公式行不通。比如想要在控制一个变量的条件下，比较两组数据的均值差异。这种情况下，直接使用双样本公式行不通，需要广义线性模型来求解。

广义线性模型公式： Y = AX。Y是因变量，X是自变量，A是设计矩阵。可以这么说，几乎所有的统计都可以用广义线性模型来描述。那么怎么理解广义线性模型呢？

理解广义线性模型关键是理解两个概念：设计矩阵和对比矩阵。

设计矩阵是一个n×m的矩阵，n表示的是观测值个数（比如被试个数），m表示自变量个数（每一列代表一个自变量）。如下图：这是一个5x4的设计矩阵，表示有5个观测值（5个被试），有4个自变量（比如第一列到第四列分别是：年龄、性别、教育年限、智商）

对比矩阵是一个p×m的矩阵（这里只讨论最简单的情形,1×m对比矩阵）。一个对比矩阵对应一个统计假设。比如说我们想关注，排除其他自变量的影响下，年龄和因变量（比如ALFF）的关系，那么对比矩阵就是[1 0 0 0]，其中1表示我们关注的这个变量（年龄），0表示我们需要回归掉的变量。再比如对比矩阵 [0 1 0 0]表示排除年龄、教育年限和智商的情况下，看性别对因变量的作用。

下面我们从实际例子来理解设计矩阵和对比矩阵。

我们从最简单的单样本检验和双样本检验说起。这里有个假设，即是数据服从正态分布。

下面会有一些简单的公式和数学符号，当然也可以跳过这些公式，直接看图和说明也可。

（1）单样本检验

有一组服从均值为μ，方差为σ的正态分布数据，单样本检验是检验这一组数据均值是否等于0.即是检验μ是否为0.我们从广义线性模型角度出发来理解。首先画出正态分布图：

那么单样本检验的设计矩阵A就是一列1（在本例中是3x1的矩阵），这一列1代表了这一组数据的均值（我们可以把这个概念推广，如果设计矩阵里有一列全为1的，那么这一列代表的是所有数据总的均值）。如果我们要检验这组数据均值是否等于0，那么它的对比矩阵只有一个数，即1.

这时候如果我们想加入一个协变量-年龄。假设三个被试的年龄分别是29,31,28。那么就变为下面的格式：

这时候设计矩阵A是一个3x2的矩阵（请自行目测哪一个是设计矩A），3表示有3个观测值（3个被试），2表示有2两个自变量，分别是这一组数据的均值（μ）和年龄（age）。如果我们想看在回归年龄的情况下，检验这一组数据的均值是否为0，对比矩阵是[1 0]。如果想看年龄和这一组数据的关系，对比矩阵是[0 1]。好，那么对比矩阵[1 -1]表示的是什么呢？没有意义！！！所以对比矩阵一定要根据自己的假设来设置。

作业：请自行使用SPM做单样本统计检验，解释SPM出来的设计矩阵以及设置对应的对比矩阵。

这里省略误差项。右边前三个红色的值是第一组数据，后三个值是第二组数据。这里双样本t检验的设计矩阵是一个6x2的矩阵，6代表总共6个被试。2表示两个自变量（对应两列），第一列是第一组的均值（因为第一列前三个数值是1，后三个是0），第二列是第二组的均值（因为第二列前三个数值是0，后三个数值是1）。那么检验两组均值差异，对比矩阵是[1 -1]。那么[1 0]表示检验组一的均值是否为0，[0 1]表示检验组二均值是否为0。

如果我们想回归掉年龄，这时候设计矩阵就变为三列，前两列不变，第三列是年龄。

思考：如果把年龄变量加进来，检验年龄和组之间的交互，该设计矩阵是什么格式？

讲到这里，大家理解了设计矩阵和对比矩阵了吗？

下面列举其它几种统计方法的设计矩阵：

------------------

附注：

1. SPM中，可在Results一步查看设计矩阵并定义Contrast，也可以在Contrast manager中进行。

2. 单样本T检验中，[1 -1]没有意义：均值和年龄（协变量）所做比较无意义。

3. 加入年龄后，设计矩阵格式：

4. 2*2被试间方差分析，四列代表：组1被试在情况1下的均值，组1被试在情况2下的均值，组2被试在情况1下的均值，组2被试在情况2下的均值。

说了这么多，也不知道大家掌握没有，正如伟大的鲁迅先生曾经说过：“努力

学好数学，更好的进行脑影像的研究！”，希望大家还是多把数学学好，没准除了搞脑影像研究外，顺便拿个诺贝尔奖啥的（诺贝尔是没有数学奖的，知道为什么吗？据说是因为爱情）

---