高斯混合模型：不掉包实现多维数据聚类分析

《实例》阐述算法，通俗易懂，助您对算法的理解达到一个新高度。包含但不限于：经典算法，机器学习，深度学习，LeetCode 题解，Kaggle 实战。期待您的到来！

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回顾

昨天实现推送了，GMM高斯混合的EM算法实现的完整代码，这是不掉包的实现，并且将结果和sklearn中的掉包实现做了比较：聚类结果基本一致，要想了解这个算法实现代码的小伙伴，可以参考：

机器学习高斯混合模型：聚类原理分析（前篇）

机器学习高斯混合模型（中篇）：聚类求解

机器学习高斯混合模型（后篇）：GMM求解完整代码实现

机器学习储备（13）：概率密度和高斯分布例子解析

以上包括了高斯混合模型的原理，公式推导过程，完整的代码实现，以及高斯概率密度公式的例子解析。

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二维高斯分布聚类数据生成

在此不再将完整的代码黏贴上，有需要的请参考上个推送或者在微信或QQ群中和我要Jupyter NoteBook的实现代码。

下面仍然借助sklearn的高斯分布的数据簇生成功能，注意参数n_features的含义是生成2维（2个特征）的数据集。

x,label = make_blobs(n_samples=500,n_features=2, centers=3,

cluster_std=[0.6,1.2,1.8],

random_state=1)

sklearn生成的满足二维高斯分布的3簇数据如下所示：

这是生成3簇二维的高斯分布数据，下面借助自己实现的GMM聚类接口直接对以上模型进行聚类（详细代码请参考之前的推送，文章开头）。

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二维数据的聚类分析

下面是调用自己写的GMM聚类接口的代码，最终聚类的结果为：3类，可以看出聚类结果较好。

#一维特征的GMM聚类模拟

px,aves,sigmas =GMM(x,3)

mylabel = classifior(px)

#可以看到不掉包的实现与sklearn的模拟结果是基本一致的

plt.scatter(x[:, 0],x[:,1],marker='o', c=mylabel)

因为GMM聚类会返回每个样本点属于每个簇的概率密度，因此500个样本点，会有一个500 by 3的概率密度结果矩阵，即代码中的 px，下面列出px的部分数据，选取最大值对应的簇即为样本的聚类归属。

array([[ 2.82354561e-01, 9.62092908e-09, 1.55829697e-10],

[ 1.21224887e-35, 7.71577880e-02, 8.29431337e-06],

[ 9.79082071e-37, 1.06570065e-01, 3.55996295e-05],

...,

[ 1.29709523e-33, 9.55957280e-02, 2.51601671e-05],

[ 8.36655897e-02, 1.17357149e-10, 4.61517416e-12],

[ 4.68328153e-87, 3.51016335e-13, 1.18809399e-02]])

看下预测的3个簇的平均值：

array([[ 3.2710034 , -4.3257953 ],

[-0.90882595, 2.05269608],

[ 1.64356224, 8.96388503]])

重点看下每个簇的协方差，这个是多维高斯分布的一个重要区别于一维的高斯分布之处，它是一个D by D （D表示数据的维数（特征数））的方阵，而不再是一个标量，

#簇0的协方差矩阵

sigmas[:,:,0]

array([[ 0.27663524, 0.02760814],

[ 0.02760814, 0.40283533]])

#簇1的协方差矩阵

sigmas[:,:,1]

array([[ 1.62581999, -0.16528428],

[-0.16528428, 1.29252665]])

#簇2的协方差矩阵

sigmas[:,:,2]

array([[ 2.74381182, 0.02889155],

[ 0.02889155, 4.21288365]])

注意：

1.多维高斯分布的协方差矩阵是对称矩阵

2.主对角线上的元素为方差

3. 非主对角线上的元素为两两特征间的相关系数

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总结和展望

至此，高斯混合模型从原理，到公式推导，再到编写完整代码借助EM算法求解，都完整的走了一遍，可以看到GMM模型的聚类特点，能给出样本点属于每个簇的概率，取概率最大的簇为所属簇。

在最近几天的推送中，我们先后模拟了一维和两维的高斯分布的数据样本，实际上，我们已经实现的算法可以模拟更多维度的数据，因为假定了是D维，但是当维度很高时，我们往往不容易分析，计算效率慢，同时也容易发生奇异问题，尤其有几个维度具有强相关性时，那么应该怎么办呢？

因此，当我们面对一堆样本由100维组成的数据时，学会如何提取出主要的特征，是非常重要的。本节描述的协方差矩阵将会大展身手，常用的算法是PCA降维，这通常是数据预处理的常用降维手法，通过降维，一来方便画图展示，二来也是去掉次要矛盾解决主要矛盾的过程。

预知PCA降维的原理和操作过程，请看接下来的推送。