数据预处理：PCA原理推导
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回顾
昨天推送了机器学习数据预处理的基本介绍：
- 主成分分析的背景；
- 主成分选取的必要性；
- 什么是数据的主成分；
- 作为引入，先从概念上说了说如何选取主成分，大概要根据每个特征的方差。
有需要了解的，请参考：机器学习数据预处理：数据降维之PCA
今天，尝试推导下如何选择主成分。基本任务便是拿到一堆数据，它有 n 个特征，现在要从中选择 k 个特征，作为主特征。
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点在某个轴上的投影
如下图所示，我们有2个特征组成了两个不同的向量，一个表示为向量 i = (1,0) ，另一个表示为向量 j= (0,1) 。显然向量 i 和 j 是线性无关的，在 i 和 j 组成的线性空间中，任意元素总可以由向量 i 和 j 表示，所以 i 和 j 就称为线性空间的一个基，维数等于组成它的向量个数等于2 。
定义了以上线性空间后，那么任意一个样本点都可以由这个基唯一确定，并且这样才使得样本点 (3,2)有了真正的基石。那么 (3,2) 是怎么由 i 和 j 确定的呢？ 容易看出： (3,2) = 3 * (1,0) + 2 * (0,1) 唯一确定。
然后再进一步，发现样本点 (3,2)在基石 i = (1,0) 上的分量为3，并且可以看成是在 i 上的投影，这个投影可以由点 (3,2) 确定的向量点乘基石向量 (1,0)得到，就这样实现了（3,2）在某个向量上的投影。
扩展开，某个点在某个轴上的投影，可以表示为这个向量点乘这个轴的方向向量。
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选取第一主成分原理推导
昨天的推送中说到，高一101班的学生语数外成绩，随机取样了5个样本，还记得语文的分数成绩很均匀，几乎没有拉开差距，所以对最终的排名影响可以说是很小，在此简化起见，直接忽略这个维度，只考虑2个特征维度：数学和外语成绩，已经将3维降为2维，但是我们还是不满意，想继续降成1个维度，那么确定这个维度的方向，也就是第一主成分的方向就是接下来的主要目标。
如下图，数学成绩和外语成绩的变动范围都挺大的，我们在上图画出了2个第一主成分可能的大致方向，哪个颜色表示的方向更有可能接近第一主成分的方向呢？
第一主成分一定是各个样本在这个方向上的投影，越分散越好，也就是方差越大越好，据此我们推断橘色线表示的方向一定更会接近第一主成分的方向，因为这5个样本点在它上面的投影分散的更开一些，与之相对的蓝色线的方向，各个样本点在上面的投影，显然没有那么分散开。
下面给出理论上的初步推导，对给定的一组数据，
，首先去均值中心化后，将这些样本点投影到第一主成分的方向 u1上，投影的计算方法如上面所述，就是将 xi 与u1 做内积，我们在此只关心 u1 的方向，不关心它的大小（可以归一化），即求下式的最大值：
对绝对值符号项进行平方处理，同时根据两个向量的内积计算可以转化成矩阵的乘法，进一步转化后得到：
进一步将求和公式写为矩阵，特设定1个矩阵 X 和它的转置矩阵：
因此可将上式进一步化简为：
可以证明上式（半正定二次型矩阵）中第一主成分 u1 的方向就是在矩阵
的最大特征值对应的特征向量的方向。
至此，我们推导出了数据第一主成分的方向向量，那么第二主成分的向量自然对应
的第二特征值的特征向量，如果要取 k 个主成分，自然求出
的第 k 个特征值对应的特征向量即可。
今天的推送主要推理了数据降维，提取主成分时的理论支撑。明白了数据主成分提取的原理后，明天通过一个例子具体说明PCA由 n 个特征降维为 k 个特征的例子分析。