利用向量积(叉积)计算三角形的面积和多边形的面积

利用向量积(叉积)计算三角形的面积和多边形的面积:

向量的数量积和向量积:

(1)  向量的数量积

(1)  向量的向量积

两个向量a和b的叉积(向量积)可以被定义为:

在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。

向量积的(长度)

可以解释成以ab为邻边的平行四边形面积求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,得到:

a=axi+ayj+azk;

b=bxi+byj+bzk;

a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成:

计算任意多边形的面积:(顶点按逆时针顺序排列)

求多边形面积最基础的方法就是用剖分法来做的,就是把多边形分成若干个三角形,然后对每个三角形求面积,求面积,在有精度要求的情况下,不要用海伦-秦九昭公式,海伦公式可能在精度损失方面会比较严重,而且计算量很大。

最适合解决任意多边形面积的方法是:向量积法。

顶点为Pk(k=1,2,3…n)的多边形,其顶点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)…(xn,yn)。

在计算几何里,我们知道,△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。

hdu 2036:改革春风吹满地(叉积求凸多边形面积)

改革春风吹满地

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 16308    Accepted Submission(s): 8316

Problem Description

“ 改革春风吹满地,不会AC没关系;实在不行回老家,还有一亩三分地。谢谢!(乐队奏乐)”话说部分学生心态极好,每天就知道游戏,这次考试如此简单的题目,也是云里雾里,而且,还竟然来这么几句打油诗。好呀,老师的责任就是帮你解决问题,既然想种田,那就分你一块。这块田位于浙江省温州市苍南县灵溪镇林家铺子村,多边形形状的一块地,原本是linle 的,现在就准备送给你了。不过,任何事情都没有那么简单,你必须首先告诉我这块地到底有多少面积,如果回答正确才能真正得到这块地。发愁了吧?就是要让你知道,种地也是需要AC知识的!以后还是好好练吧...

Input

输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,每行的开始是一个整数n(3<=n<=100),它表示多边形的边数(当然也是顶点数),然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标(x1, y1, x2, y2... xn, yn),为了简化问题,这里的所有坐标都用整数表示。输入数据中所有的整数都在32位整数范围内,n=0表示数据的结束,不做处理。

Output

对于每个测试实例,请输出对应的多边形面积,结果精确到小数点后一位小数。每个实例的输出占一行。

Sample Input

  3 0 0 1 0 0 1   4 1 0 0 1 -1 0 0 -1   0

Sample Output

0.5 2.0

思路

s=S123+S134+S145+S156+S167+S178  >在坐标系下,三角形面积公式如下。可按向量思路。 S=(double)(x2*y3+x1*y2+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int n,x1,x2,x3,y1,y2,y3,i;
 6     double s;
 7     int x[100];
 8     int y[100];
 9     while(scanf("%d",&n)&&n)
10     {
11         s=0;
12         for(i=0;i<n;i++)
13         {
14             scanf("%d",&x[i]);
15             scanf("%d",&y[i]);
16         }
17         x1=x[0];
18         y1=y[0];
19         for(i=1;i<n-1;i++)
20         {
21             x2=x[i];
22             y2=y[i];
23             x3=x[i+1];
24             y3=y[i+1];
25             s+=(double)(x1*y2+x2*y3+x3*y1-x3*y2-x2*y1-x1*y3)/2.0;
26         }
27         printf("%.1lf\n",s);
28     }
29     return 0;
30 }

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