预处理之白化

Contents

1 关键词

2 白化介绍

3 2D的例子

4 ZCA白化

5 正则化

1. 关键词

白化 whitening

冗余 redundant

方差 variance

平滑 smoothing

降维 dimensionality reduction

正则化 regularization

反射矩阵 reflection matrix

去相关 decorrelation

2. 白化介绍

在（自动编码器优化之主成分分析）中，我们已经了解了如何使用PCA降低数据维度。在一些算法中还需要一个与之相关的预处理步骤，这个预处理过程称为白化（一些文献中也叫sphering）。举例来说，假设训练数据是图像，由于图像中相邻像素之间具有很强的相关性，所以用于训练时输入是冗余的。白化的目的就是降低输入的冗余性；更正式的说，我们希望通过白化过程使得学习算法的输入具有如下性质：

(i) 特征之间相关性较低；

(ii )所有特征具有相同的方差。

3. 2D的例子

下面我们先用一个2D例子描述白化的主要思想，然后分别介绍如何将白化与平滑和PCA相结合。

如何消除输入特征之间的相关性? 在前文（自动编码器优化之主成分分析）计算 x[^i][rot] = U[^T]x[^i] 时实际上已经消除了输入特征 x[i] 之间的相关性。得到的新特征 x[rot] 的分布如下图所示：

这个数据的协方差矩阵如下：

严格地讲, 这部分许多关于“协方差”的陈述仅当数据均值为0时成立。下文的论述都隐式地假定这一条件成立。不过即使数据均值不为0，下文的说法仍然成立，所以你无需担心这个。

x[rot] 协方差矩阵对角元素的值为 λ[1] 和 λ[2] 绝非偶然, 并且非对角元素值为0; 因此, x[rot,1]和 x[rot,2] 是不相关的, 满足我们对白化结果的第一个要求 (特征间相关性降低)。

为了使每个输入特征具有单位方差，我们可以直接使用 1/ sqrt(λ[i]) 作为缩放因子来缩放每个特征。具体地，我们定义白化后的数据 如下：

绘制出 x[PCAwhite]，我们得到:

这些数据现在的协方差矩阵为单位矩阵 I 。我们说，x[PCAwhite] 是数据经过PCA白化后的版本: x[PCAwhite] 中不同的特征之间不相关并且具有单位方差。

白化与降维相结合。 如果你想要得到经过白化后的数据，并且比初始输入维数更低,可以仅保留 x[PCAwhite] 中前 k 个成分。当我们把PCA白化和正则化结合起来时，x[PCAwhite] 中最后的少量成分将总是接近于0，因而舍弃这些成分不会带来很大的问题。

4. ZCA白化

最后要说明的是，使数据的协方差矩阵变为单位矩阵 I 的方式并不唯一。具体地，如果 R 是任意正交矩阵，即满足 RR[^T] = R[^T]R = I (说它正交不太严格，R 可以是旋转或反射矩阵),那么 R x[PCAwhite] 仍然具有单位协方差。在ZCA白化中，令 R = U 。我们定义ZCA白化的结果为：

绘制x[ZCAwhite], 得到：

可以证明，对所有可能的 R ，这种旋转使得 x[Zcawhite] 尽可能地接近原始输入数据 。当使用 ZCA白化时(不同于 PCA白化)，我们通常保留数据的全部 n 个维度，不尝试去降低它的维数。

5. 正则化

实践中需要实现PCA白化或ZCA白化时，有时一些特征值 λ[i 在数值上接近于0，这样在缩放步骤时我们除以 sqrt(λ[i]) 将导致除以一个接近0的值；这可能使数据上溢 (赋为大数值)或造成数值不稳定。因而在实践中，我们使用少量的正则化实现这个缩放过程，即在取平方根和倒数之前给特征值加上一个很小的常数 ：

当x在区间 [-1, 1] 上时，一般取值为10[^(-5)]。对图像来说, 这里加上，对输入图像也有一些平滑(或低通滤波)的作用。这样处理还能消除在图像的像素信息获取过程中产生的噪声，改善学习到的特征。

ZCA 白化是一种数据预处理方法，它将数据从 x 映射到 x[ZCAwhite]。 事实证明这也是一种生物眼睛(视网膜)处理图像的粗糙模型。具体而言，当你的眼睛感知图像时，由于一幅图像中相邻的部分在亮度上十分相关，大多数临近的“像素”在眼中被感知为相近的值。因此，如果人眼需要分别传输每个像素值（通过视觉神经）到大脑中，会非常不划算。取而代之的是，视网膜进行一个与ZCA中相似的去相关操作 (这是由视网膜上的ON-型和OFF-型光感受器细胞将光信号转变为神经信号完成的)。由此得到对输入图像的更低冗余的表示，并将它传输到大脑。

参考文献：http://cs229.stanford.edu