有限元理论 | 为什么要用高斯积分点计算单元应力

单元形函数的多项式阶数为p，则单元应变场（应力场）多项式的阶数为p-1阶或者p-2阶。要想得到精确的应力场表达式几乎是可能的，现在通过最小二乘估计来找一个最接近p阶多项式的p-1阶多项式。

来看一个2阶多项式f(x)=1+x+x^2,设最接近此多项式的p-1阶多项式g(x)=a+bx。

两个函数的交点正好是我们所熟悉的高斯积分点，也就是说，在这些点附近，两个函数值最接近，在高斯积分点上，函数值是相等的。

再来看一个3阶多项式f(x)=1+x+x^2+x^3,设最接近此多项式的p-1阶多项式

g(x)=a+bx+bx^2。

两个函数的交点还是我们所熟悉的高斯积分点！

如图所示所示的悬臂梁，单元内的剪力与经典材料力学计算得到的剪力精确值的 交点正好位于每个单元的高斯积分点附近，也就是说，在高斯积分点计算单元应力，其误差最小！