Jacobi方法求实对称阵的特征值

Jacobi方法用于求实对称阵的全部特征值、特征向量。对于实对称阵 A,必有正交阵 Q ,使

QT A Q = Λ

其中Λ是对角阵,其主对角线元素λii是A的特征值,正交阵Q的第j列是A的第i个特征值对应的特征向量。

如何将实对称矩阵化为对角矩阵?Jacobi方法用超平面旋转对矩阵A做相似变换,化A为对角阵,进而求出特征值与特征向量。超平面旋转矩阵的形式为

容易验证 Q 是正交阵。下面以二维平面旋转矩阵为例,来展示旋转矩阵是如何将实对称矩阵的非对角元素化0的。

在二维平面上,超平面旋转矩阵退化为如下的形式:

向量x = [ 1,√3]',逆时针旋转60度后,第二个坐标分量为0

由此可见,只要旋转角度合适,就可以将实对称矩阵的非对角元素化为0,从而形成对角矩阵。接下来就要找这个合适的旋转角度,也就是求一个旋转角,使得矩阵经过旋转变换之后,有非对角元素出现0。

下面是一个例子:

原文发布于微信公众号 - 数值分析与有限元编程(program_fem)

原文发表时间:2017-04-13

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