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广义雅可比方法

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fem178
发布2018-04-08 16:37:41
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发布2018-04-08 16:37:41
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文章被收录于专栏:数值分析与有限元编程

标准雅可比方法只能求解标准特征值问题。对于广义特征值问题需要采用广义雅可比方法求解。

前面已提到标准Jacobi方法的理论依据是对于实对称阵 A,必有正交阵 Q ,使

QT A Q = Λ

其中Λ是对角阵,其主对角线元素λii是A的特征值,正交阵Q的第i列是A的第i个特征值对应的特征向量。同标准Jacobi方法类似,广义雅可比方法也是将刚度矩阵和质量矩阵同时对角化。

假设有一系列正交变换矩阵P1、P2、...、Pn的乘积组成P,即

P = P1P2...Pn

并且使得 PT K P PT M P的非对角线元素为0(实际计算中非对角线元素设为小于一个误差范围内的数值)

现在来求Pk。在第k步,构造如下的矩阵Pk

Pk的所有对角线元素均为1,在第i行j列的元素为α,第j行i列的元素为β,其余元素为0。α和β不是任意值,而是必须使PT K P PT M P第i行j列的元素同时为0。这样就有如下关于α和β的方程组

具体计算时K和M的非对角线元素从第一行开始按照如下的顺序消0

【算例】求Kx=λMx的特征值与特征向量。

Fortran版程序输出结果为

MATLAB自带的eig函数输出结果为

二者结果一致。

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原始发表:2017-05-08,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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