矢量函数

一个由三个变量组成的函数w = f（x,y,z）表示如何根据x,y,z来确定w的值。从几何角度更有利于对这个概念的理解：在空间笛卡尔坐标系下取一点，坐标为（x,y,z），函数w = f（x,y,z）告诉我们如何将一个点和一个数联系起来。例如：一个函数T（x,y,z）可以表明空间任意一点的温度。

以上提到的函数f（x,y,z）和T（x,y,z）是标量函数，即在函数T（x,y,z）中给x,y,z赋值得到的结果是温度，温度是标量。矢量函数的一般形式简单明了。在三维空间中的一个矢量函数是一个将每个点（x,y,z）和矢量对应的法则，例如流体的速度。指定一个函数v（x,y,z），它表明了流体的速度和在这一点的流动方向。一般来说，一个矢量函数表明了在某个空间区域内每个点的大小和方向。可以利用许多箭头来描绘矢量函数的图像，如图1所示。在任一点处箭头的方向由矢量函数所确定，箭头长度和函数值大小成正比。

如图2所示，和矢量一样，矢量函数也能分解为几个分量。空间任意方向的力F（x,y,z）可以沿着坐标轴方向分解为

F（x,y,z）= Fx（x,y,z）i + Fy（x,y,z）j + Fz（x,y,z）k

其中Fx、Fy、Fz分别表示x,y,z方向的标量函数。

下面举一个矢量函数的例子：

PS：本文将矢量加粗以示区别。