有限元 | 颇有难度的薄板协调单元

作平面问题分析时，有这样的经验：节点多的单元往往比节点少的单元更难构造。八节点四边形单元比四节点四边形单元难于构造，而四节点四边形单元又比三节点三角形单元更难。到了薄板分析这儿，构造位移协调的三角形单元就已经是世界性难题了，别的就更不用说了！原因何在？这是因为三角形薄板单元一共有9个自由度，而构造完备的三次多项式位移表达式需要10个参数，方程组（1）有无穷多组解。这样一来10个参数不具有唯一性。

很多学者提出了不同的位移表达式的方法。Adini 和 Clough 将xy项省略，即

这种单元不满足C1连续性要求。

Tocher 和 Kapur 将交叉项合并，即

在三角形单元的边与坐标轴x，y平行时，矩阵A是奇异的，方程组（1）有无穷多组解。各参数不唯一。

Zienkiewicz 采用三角形面积坐标构造位移表达式，这种单元不满足转动连续性，因此属于非协调范畴。