有限元 | 三次样条梁单元

样条梁单元是样条函数与有限元法相结合的产物。有限元法将结构分割成若干单元，位移场采用分段插值或者分区插值。常用的插值方法有Lagrange插值，Hermite插值和样条插值等形式。将梁的曲率（横向位移的二阶导数）作为节点自由度，构造三次样条梁单元，其精度较二次样条梁单元更高。下面来推导采用二次样条函数作为位移插值函数的梁单元刚度矩阵。

参照二次样条梁单元刚度矩阵推导方法，同样使用自然坐标系和物理坐标系。由于有6个位移节点条件，可假设梁单元的位移场挠度为具有12个待定系数的函数模式，其中 C1， C2， C3， C4 ， C5， C6 ，C7， C8， C9， C10 ， C11， C12 为待定系数。

算例：

自编程序计算结果为

跨中挠度为26.66，解析解为26.67，误差为0.038%