动态规划之01背包详解【解题报告】
01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？
题目描述：
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
name | weight | value | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
a | 2 | 6 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 12 | 12 | 15 | 15 | 15 |
b | 2 | 3 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 | 9 | 9 | 10 | 11 |
c | 6 | 5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 11 |
d | 5 | 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 10 |
e | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。
为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？
根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，
一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；
在这里，
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 #define V 1500
4 unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0
5 unsigned int weight[10];
6 unsigned int value[10];
7 #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
8 int main()
9 {
10
11 int N,M;
12 cin>>N;//物品个数
13 cin>>M;//背包容量
14 for (int i=1;i<=N; i++)
15 {
16 cin>>weight[i]>>value[i];
17 }
18 for (int i=1; i<=N; i++)
19 for (int j=1; j<=M; j++)
20 {
21 if (weight[i]<=j)
22 {
23 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
24 }
25 else
26 f[i][j]=f[i-1][j];
27 }
28
29 cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解
30 }可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。
再进一步思考，计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M……1，只使用一个一维数组即可。
for i=1……N
for j=M……1
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 #define V 1500
4 unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
5 unsigned int weight[10];
6 unsigned int value[10];
7 #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
8 int main()
9 {
10
11 int N,M;
12 cin>>N;//物品个数
13 cin>>M;//背包容量
14 for (int i=1;i<=N; i++)
15 {
16 cin>>weight[i]>>value[i];
17 }
18 for (int i=1; i<=N; i++)
19 for (int j=M; j>=1; j--)
20 {
21 if (weight[i]<=j)
22 {
23 f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
24 }
25 }
26
27 cout<<f[M]<<endl;//输出最优解
28 }