最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点,而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结,希望对大家能有用]
给定数据点pi(xi,yi),其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y,i=1,2,...,m。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线,并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程:
1. 设拟合多项式为:
2. 各点到这条曲线的距离之和,即偏差平方和如下:
3. 为了求得符合条件的a值,对等式右边求ai偏导数,因而我们得到了:
.......
4. 将等式左边进行一下化简,然后应该可以得到下面的等式:
.......
5. 把这些等式表示成矩阵的形式,就可以得到下面的矩阵:
6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
7. 也就是说X*A=Y,那么A = (X'*X)-1*X'*Y,便得到了系数矩阵A,同时,我们也就得到了拟合曲线。
实现
1 # coding=utf-8
2
3 '''''
4 程序:多项式曲线拟合算法
5 '''
6 import matplotlib.pyplot as plt
7 import math
8 import numpy
9 import random
10
11 fig = plt.figure()
12 ax = fig.add_subplot(111)
13
14 #阶数为9阶
15 order=9
16
17 #生成曲线上的各个点
18 x = numpy.arange(-1,1,0.02)
19 y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
20 #ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')
21 #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
22
23 #生成的曲线上的各个点偏移一下,并放入到xa,ya中去
24 i=0
25 xa=[]
26 ya=[]
27 for xx in x:
28 yy=y[i]
29 d=float(random.randint(60,140))/100
30 #ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')
31 i+=1
32 xa.append(xx*d)
33 ya.append(yy*d)
34
35 '''''for i in range(0,5):
36 xx=float(random.randint(-100,100))/100
37 yy=float(random.randint(-60,60))/100
38 xa.append(xx)
39 ya.append(yy)'''
40
41 ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')
42
43
44 #进行曲线拟合
45 matA=[]
46 for i in range(0,order+1):
47 matA1=[]
48 for j in range(0,order+1):
49 tx=0.0
50 for k in range(0,len(xa)):
51 dx=1.0
52 for l in range(0,j+i):
53 dx=dx*xa[k]
54 tx+=dx
55 matA1.append(tx)
56 matA.append(matA1)
57
58 #print(len(xa))
59 #print(matA[0][0])
60 matA=numpy.array(matA)
61
62 matB=[]
63 for i in range(0,order+1):
64 ty=0.0
65 for k in range(0,len(xa)):
66 dy=1.0
67 for l in range(0,i):
68 dy=dy*xa[k]
69 ty+=ya[k]*dy
70 matB.append(ty)
71
72 matB=numpy.array(matB)
73
74 matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)
75
76 #画出拟合后的曲线
77 #print(matAA)
78 xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
79 yya=[]
80 for i in range(0,len(xxa)):
81 yy=0.0
82 for j in range(0,order+1):
83 dy=1.0
84 for k in range(0,j):
85 dy*=xxa[i]
86 dy*=matAA[j]
87 yy+=dy
88 yya.append(yy)
89 ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')
90
91 ax.legend()
92 plt.show()