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密码学经典之生日悖论与生日攻击【详解】

生日悖论

在算法导论书上看到个比较有意思的概率算法,在这里加上自己的理解分享下:

上次刚看同学发的朋友圈说道:“两个人同一间宿舍,而且同年同月同日生,这个缘分真的是醉了”,当时我也是醉醉的,看了这个算法后才发现,屋里有23个人,那么就可以50%的概率生日是一样的。

是这样子证明的:

首先,假设屋子里有K个人,分别对他们编号1,2,3….k号。不考虑闰年的情况,那么一年就有n=365天,首先还是要假设生日是均匀分布在一年的n天中(喜欢在春天生就都在春天生这就不均匀了),然后还要假设两个人生日相互独立(什么双胞胎那些还用得着算么),

那么两个人同一天(具体的一天)生日的概率就1/n2 (生日的概率是1/n,两个人同一天生日当然就相乘了~),那么两个人同一天生日(365天随便一天)的概率就是1/n (n个1/n2相加)

也就是说假如屋里面有两个人,那么他们同一天生日的概率是1/365,那现在要解决的问题是,屋里要有多少人,才能使这个概率上升到1/2 ?

用事件的对立面来求,假设事件P={屋里至少两个人生日一样},Q={屋里每个人生日都不一样},那么P=1-Q

那么知道Q的概率就能知道P的概率了,设BK为前K个人的生日都有一样,Ai为前第i个人与前i-1一个人的生日都不一样,那么就可以得到递推式子

Bk=Bk-1^Ak

它的等价形式为

P{Bk}=P{Bk-1}P{ Ak | Bk-1}

应用递归式可以得到P{Bk}=P{B1} P{ A2 | B1} P{ A3 | B2}… P{ Ak-1 | Bk-2} P{ Ak | Bk-1}

                       =1*(n-1/n) (n-2/n)… (n-k+1/n)(B1是规定为1的,然后P{ A2 | B1}就是365中有一天已经给B1用了,那么就剩下n-1天了,所以概率为(n-1/n))

                   P{Bk}=1*(1-1/n) (1-2/n)… (1-k-1/n)

然后已知 1+x<=ex(两个都是单调增函数,取0时为相等,过了就ex 大了,高中学的嘿嘿)

那么有1*( ) ( )… ( )<=(e-1/n)(e-2/n)…(e-(k-1/n))= (e-k(k-1)/2n))<=1/2

求得当n=365时,必有k>=23,所以结论是至少有23个人在一间屋子里,那么至少有两个人生日相同的概率至少是1/2。

在程序中,有时可能考虑产生n个随机数,比如产生1000个范围为0到1亿之间的随机数,任意两个随机数都不重复的概率为多大?传统计算方法无法计算过于大的位数,下面是一个近似解:

 1 /*
 2  * 功能:范围为r的k个随机数互不相同的概率(r>k)。
 3  * 若k>=r,显然概率为0.
 4  * 例1:50个人中生日互不相同的概率为distinct(365,50)约为0.0296。
 5  * 例2:随机产生名称为Integer.MAX_VALUE以内整数做文件名的文件1万个,没有相同文件名的概率为distinct(Integer.MAX_VALUE, 10000)约为0.977
 6  * 
 7  */
 8 package com.copy;
 9 import static Java.lang.Math.*;
10 public class Distinct {
11 
12 
13 public static void main(String[] args) {
14 
15 System.out.println(distinct(Integer.MAX_VALUE ,10000));
16 }
17 
18 public static double distinct(double r, double k) {
19 return sqrt(2 * PI * r) / sqrt(2 * PI * (r - k)) * pow( r/E, r - (r - k) * (log((r - k) / E) / log(r / E)) - k * log(r) / log(r / E) );
20 }
21 }
  1 以下是从2 人到364人生日互不相同的概率:
  2 
  3 人数2 0.997261528435304
  4 人数3 0.9917977106686194
  5 人数4 0.9836465759145728
  6 人数5 0.9728675112354711
  7 人数6 0.9595411777338625
  8 人数7 0.9437685100361304
  9 人数8 0.9256694435439302
 10 人数9 0.9053813918576331
 11 人数10 0.8830575014579024
 12 人数11 0.8588647147768872
 13 人数12 0.83298167612227
 14 人数13 0.8055965174604536
 15 人数14 0.7769045627622481
 16 人数15 0.7471059904296959
 17 人数16 0.7164034932666513
 18 人数17 0.6849999745275132
 19 人数18 0.6530963168239327
 20 人数19 0.6208892581770326
 21 人数20 0.5885694063080312
 22 人数21 0.5563194185097445
 23 人数22 0.5243123702121542
 24 人数23 0.4927103307922907
 25 人数24 0.4616631603810471
 26 人数25 0.43130753655505705
 27 人数26 0.40176621494015163
 28 人数27 0.37314752306698046
 29 人数28 0.3455450823793965
 30 人数29 0.3190377492123028
 31 人数30 0.293689761912032
 32 人数31 0.2695510781270815
 33 人数32 0.24665788369766528
 34 人数33 0.22503325255723464
 35 人数34 0.20468793562709864
 36 人数35 0.18562125583950176
 37 人数36 0.1678220861466564
 38 人数37 0.15126988761627422
 39 人数38 0.13593578544669332
 40 人数39 0.12178366188891603
 41 人数40 0.1087712465818115
 42 人数41 0.09685118661702039
 43 人数42 0.08597208068851865
 44 人数43 0.0760794638681576
 45 人数44 0.06711673182514903
 46 人数45 0.05902599560048669
 47 人数46 0.051748860305991407
 48 人数47 0.04522712328390563
 49 人数48 0.03940338929763275
 50 人数49 0.034221602187752664
 51 人数50 0.029627494094956967
 52 人数51 0.025568954802279956
 53 人数52 0.0219963249737199
 54 人数53 0.018862618059882787
 55 人数54 0.016123676408139682
 56 人数55 0.013738267663700484
 57 人数56 0.011668127892545042
 58 人数57 0.009877958015770329
 59 人数58 0.008335380137448146
 60 人数59 0.0070108601977503845
 61 人数60 0.005877603112454998
 62 人数61 0.004911426193103169
 63 人数62 0.004090616201315916
 64 人数63 0.003395774897958958
 65 人数64 0.002809657422794226
 66 人数65 0.0023170073006054163
 67 人数66 0.0019043913313614204
 68 人数67 0.0015600370976016945
 69 人数68 0.001273675322755735
 70 人数69 0.0010363888477753058
 71 人数70 8.404695663190771E-4
 72 人数71 6.79284274773569E-4
 73 人数72 5.47150054743283E-4
 74 人数73 4.3921951284882056E-4
 75 人数74 3.513759548782414E-4
 76 人数75 2.801383666838221E-4
 77 人数76 2.225759099077254E-4
 78 人数77 1.762315133316221E-4
 79 人数78 1.390540466029231E-4
 80 人数79 1.0933849833405421E-4
 81 人数80 8.567354107899968E-5
 82 人数81 6.689584752449988E-5
 83 人数82 5.2050521631153776E-5
 84 人数83 4.035702192591879E-5
 85 人数84 3.11799784969191E-5
 86 人数85 2.400433763667517E-5
 87 人数86 1.8414306049359104E-5
 88 人数87 1.4075607966145631E-5
 89 人数88 1.0720611641437018E-5
 90 人数89 8.135925100205447E-6
 91 人数90 6.152103542702944E-6
 92 人数91 4.635151631013028E-6
 93 人数92 3.479542361035658E-6
 94 人数93 2.6025099468439285E-6
 95 人数94 1.9394068652623725E-6
 96 人数95 1.4399448193644152E-6
 97 人数96 1.06516588303459E-6
 98 人数97 7.850135719021647E-7
 99 人数98 5.763941980275251E-7
100 人数99 4.216367984872279E-7
101 人数100 3.0727539996626477E-7
102 人数101 2.2309062461503145E-7
103 人数102 1.613588920166524E-7
104 人数103 1.1626695869354567E-7
105 人数104 8.345748027381826E-8
106 人数105 5.967788794695045E-8
107 人数106 4.251032895224462E-8
108 人数107 3.016490117628953E-8
109 人数108 2.1322066533069384E-8
110 人数109 1.5013090519920495E-8
111 人数110 1.052974268310542E-8
112 人数111 7.356405037887832E-9
113 人数112 5.119258363505299E-9
114 人数113 3.548422079017974E-9
115 人数114 2.44987271782621E-9
116 人数115 1.6847092295825918E-9
117 人数116 1.15391197594619E-9
118 人数117 7.871903280805647E-10
119 人数118 5.348588135548078E-10
120 人数119 3.6194604967979793E-10
121 人数120 2.4394205844381303E-10
122 人数121 1.6374215789642276E-10
123 人数122 1.094606648758393E-10
124 人数123 7.287391577494481E-11
125 人数124 4.8316473468394486E-11
126 人数125 3.1902155842246264E-11
127 人数126 2.0976790481129164E-11
128 人数127 1.3735507588484367E-11
129 人数128 8.956316810132223E-12
130 人数129 5.8154801275045396E-12
131 人数130 3.760151704975162E-12
132 人数131 2.4209232595975476E-12
133 人数132 1.5520463249241352E-12
134 人数133 9.907598662867073E-13
135 人数134 6.29744236698989E-13
136 人数135 3.985510872476768E-13
137 人数136 2.5114217835601535E-13
138 人数137 1.5756616612369978E-13
139 人数138 9.842505128717587E-14
140 人数139 6.121239160155489E-14
141 人数140 3.790143335118387E-14
142 人数141 2.336393590201922E-14
143 人数142 1.433843937796741E-14
144 人数143 8.76021195500924E-15
145 人数144 5.3281379650841086E-15
146 人数145 3.226083584972268E-15
147 人数146 1.9444920993801484E-15
148 人数147 1.1666972960842728E-15
149 人数148 6.968231742088301E-16
150 人数149 4.142764318879114E-16
151 人数150 2.451612872872876E-16
152 人数151 1.4441033488887312E-16
153 人数152 8.466813195809865E-17
154 人数153 4.940916544803405E-17
155 人数154 2.8697979695469803E-17
156 人数155 1.658982220223549E-17
157 人数156 9.544847334855884E-18
158 人数157 5.46541621106069E-18
159 人数158 3.114544581221222E-18
160 人数159 1.76633421435653E-18
161 人数160 9.968919621327157E-19
162 人数161 5.598993409966635E-19
163 人数162 3.1293067234718916E-19
164 人数163 1.7404124817288055E-19
165 人数164 9.631891585541229E-20
166 人数165 5.3041485533584616E-20
167 人数166 2.906388854346236E-20
168 人数167 1.584582480111398E-20
169 人数168 8.595835653650936E-21
170 人数169 4.63940624234323E-21
171 人数170 2.4913030305441853E-21
172 人数171 1.330973044114597E-21
173 人数172 7.074228636805817E-22
174 人数173 3.7406279378378165E-22
175 人数174 1.9676772495856125E-22
176 人数175 1.029663610098081E-22
177 人数176 5.359905203129384E-23
178 人数177 2.7754094773481293E-23
179 人数178 1.4295293658983514E-23
180 人数179 7.323907723068574E-24
181 人数180 3.732192152171627E-24
182 人数181 1.8916636669956916E-24
183 人数182 9.536081538054923E-25
184 人数183 4.781115856971393E-25
185 人数184 2.3840144855204884E-25
186 人数185 1.1822129468156427E-25
187 人数186 5.830106323404897E-26
188 人数187 2.8591555105072787E-26
189 人数188 1.3943315807841226E-26
190 人数189 6.761571232667588E-27
191 人数190 3.260382895176333E-27
192 人数191 1.5632015565451854E-27
193 人数192 7.451995173278288E-28
194 人数193 3.5320514395422914E-28
195 人数194 1.6644234763571782E-28
196 人数195 7.797732338337783E-29
197 人数196 3.63183107546654E-29
198 人数197 1.6815924746677324E-29
199 人数198 7.739955475628124E-30
200 人数199 3.5413053423047515E-30
201 人数200 1.61057116536134E-30
202 人数201 7.280686593494693E-31
203 人数202 3.2713323933076926E-31
204 人数203 1.4609009942182749E-31
205 人数204 6.484019649905391E-32
206 人数205 2.860083673207741E-32
207 人数206 1.2537394156314248E-32
208 人数207 5.461513105172664E-33
209 人数208 2.3641697794601874E-33
210 人数209 1.0169203240639937E-33
211 人数210 4.346304583123179E-34
212 人数211 1.845697430889915E-34
213 人数212 7.787353688669575E-35
214 人数213 3.2642996814747587E-35
215 人数214 1.3593845289569194E-35
216 人数215 5.6237758653215976E-36
217 人数216 2.311149383776688E-36
218 人数217 9.434590671291894E-37
219 人数218 3.825547308889449E-37
220 人数219 1.540705857348351E-37
221 人数220 6.162847688590297E-38
222 人数221 2.448264332325108E-38
223 人数222 9.65894494734862E-39
224 人数223 3.7842049201358714E-39
225 人数224 1.4722173566589267E-39
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290 人数289 4.1885051271614915E-74
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292 人数291 1.7920950827914942E-75
293 人数292 3.63334470890731E-76
294 人数293 7.26680462913946E-77
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296 人数295 2.7884506433561695E-78
297 人数296 5.3478058270752784E-79
298 人数297 1.0109730292337928E-79
299 人数298 1.8834910520811563E-80
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301 人数300 6.251916814200046E-82
302 人数301 1.1133773515771803E-82
303 人数302 1.9522636493420678E-83
304 人数303 3.369732435059139E-84
305 人数304 5.724055188006599E-85
306 人数305 9.56644702516075E-86
307 人数306 1.5726036526515317E-86
308 人数307 2.54207876591672E-87
309 人数308 4.039569447862928E-88
310 人数309 6.308533415953783E-89
311 人数310 9.679107657439067E-90
312 人数311 1.458536596603439E-90
313 人数312 2.1578977935991347E-91
314 人数313 3.1334805796466244E-92
315 人数314 4.4642769889133005E-93
316 人数315 6.237960732218878E-94
317 人数316 8.54544233246896E-95
318 人数317 1.1472370130425093E-95
319 人数318 1.5087509775790893E-96
320 人数319 1.942850112793478E-97
321 人数320 2.4486219988417057E-98
322 人数321 3.0189760918612455E-99
323 人数322 3.639473933982971E-100
324 人数323 4.287797263191564E-101
325 人数324 4.934142460106241E-102
326 人数325 5.542743012662612E-103
327 人数326 6.074563384431801E-104
328 人数327 6.4909943254637144E-105
329 人数328 6.758148030622761E-106
330 人数329 6.851153981072421E-107
331 人数330 6.7577494475310795E-108
332 人数331 6.480487478442585E-109
333 人数332 6.03706680229222E-110
334 人数333 5.458600688642653E-111
335 人数334 4.786024515931745E-112
336 人数335 4.0652069499352986E-113
337 人数336 3.341586009428232E-114
338 人数337 2.655231198781569E-115
339 人数338 2.0371141942921878E-116
340 人数339 1.50708525796149E-117
341 人数340 1.073677804760819E-118
342 人数341 7.354978850568769E-120
343 人数342 4.836880495131281E-121
344 人数343 3.048399199819024E-122
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350 人数349 6.935509412587238E-130
351 人数350 3.0412786807910636E-131
352 人数351 1.2503363845348714E-132
353 人数352 4.798005970719257E-134
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356 人数355 1.6964224108450512E-138
357 人数356 4.652033303088953E-140
358 人数357 1.1484032661324103E-141
359 人数358 2.5207899688523915E-143
360 人数359 4.843970484385247E-145
361 人数360 7.984766959369045E-147
362 人数361 1.098347996087053E-148
363 人数362 1.2119876239193127E-150
364 人数363 1.0098578391715748E-152
365 人数364 5.757684771147015E-155

生日攻击

生日攻击是利用概率论中的生日问题,找到冲突的Hash值,伪造报文,使身份验证算法失效。

生日攻击的理论描述有些复杂,不易理解,请参考相关资料。 本文以实例方式介绍生日攻击方法和防范方法。

实例场景

场景说明

A要对一个合同文件进行签名,然后把合同文件和签名一起发送给接收者。 签名的方法:计算文件的Hash值(m位),然后使用A的私钥对这个Hash值进行加密。

接收者使用A的公钥进行解密,然后比较Hash值,这样他就能确认: 接收到的合同文件是A发送的,并且合同文件未被修改过。

攻击者B想要伪造一份假合同文件,然后发送给接收者,并使接收者仍然相信: 接收到的合同文件是A发送的,并且合同文件未被修改过。

攻击方法

B先准备 2^m/2 个有效合同文件(集合X),每个文件包含与原合同文件相同的意思。 B再准备 2^m/2 个伪造合同文件(集合Y),每个文件也都是希望的伪造合同的意思。

注1:2^m/2 表示 2 的 m/2 次方。 注2:要产生包含相同意思的许多文件,也不是很难。 例如要生成 2^32 个文件,方法是:在文件中找到32个地方,每个地方使用两种方式表达相同意思,这样组合起来,就有了 2^32 个文件,这些文件要表达的意思都相同。

然后比较集合X和集合Y,找到Hash值相同的两个文件,分别是有效合同和伪造合同。

B成功的概率会大于0.5,如果没有找到匹配的文件,就准备更多的有效文件和伪造文件,直到找到一对匹配的文件。

注3:如果使用64位Hash值,那么只需要2^32个不同文件,这无法防住现代计算机系统。

B把找到的有效合同文件提供A,A看了一下,没什么问题,就做了签名,然后发送给接收者。

在接收者收到消息之前,B截获了这个消息,然后使用伪造合同替换有效合同,再把伪造合同和原签名一起发送给接收者。

因为伪造合同与有效合同的Hash值相同,所以它们产生相同的签名。 这样,即使B不知道A的私钥,他也能成功!!!

遭遇失败

如果A是一个认真的人,他在对B提供的有效合同文件进行签名之前,又仔细阅读了合同,修改了其中的标点符号问题,然后才对文件进行签名。

这样,B的计划就失败了。 B面临的问题是:找到一个伪造合同,与新的合同文件具有相同的Hash值。 这几乎是不可能的!!!

防范方法
  • 使用安全的Hash算法:安全的Hash算法生成的Hash值有足够多的位数。这样,攻击者在寻找两个具有相同Hash值的文件时就会非常困难。
  • 加盐:在为文件签名之前,先向文件添加一个随机值,然后计算Hash值,再将文件、签名和随机值一起发送给接收者。这样,攻击者必须找出具有特定Hash值的伪造文件,这非常困难。
  • 改动文件:在为文件签名之前,对消息或文件做少许改动。这样,攻击者必须找出具有特定Hash值的伪造文件,这非常困难。

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