平衡树初阶——AVL平衡二叉查找树+三大平衡树（Treap + Splay + SBT）模板【超详解】
平衡树初阶——AVL平衡二叉查找树+三大平衡树（Treap + Splay + SBT）模板【超详解】
平衡树初阶——AVL平衡二叉查找树
一、什么是二叉树
1. 什么是树。
计算机科学里面的树本质是一个树状图。树首先是一个有向无环图，由根节点指向子结点。但是不严格的说，我们也研究无向树。所谓无向树就是将有向树的所有边看成无向边形成的树状图。树是一种递归的数据结构，所以我们研究树也是按照递归的方式去研究的。
2.什么是二叉树。
我们给出二叉树的递归定义如下：
（1）空树是一个二叉树。
（2）单个节点是一个二叉树。
（3）如果一棵树中，以它的左右子节点为根形成的子树都是二叉树，那么这棵树本身也是二叉树。
二、BST
1.什么是二叉排序树。
二叉排序树是一种二叉树，它满足树的中序遍历是有序的。
2.BST（Binary Search Tree）。
二叉查找树是一种最普通的二叉排序树，一般称作BST，也称为B-树。在这棵树中，满足在任意一个子树中，都满足左子树 < 根节点 < 右子树，即该树的中序遍历满足从小到大排序的结果。
3.如何构造一个二叉排序树？
很显然，要想构造一个BST，就必须在插入节点时，满足下面的原则：
（1）如果节点为空，则直接插入到该节点。
（2）如果节点不为空，且要插入的值小于等于当前节点的值，那么则将该节点插入到左子树当中。
（3）如果节点不为空，且要插入的值大于当前节点的值，那么则将该节点插入到右子树当中。
4.利用BST的性质对一个数组进行剃重。
由于BST有二叉排序树的性质，我们可以利用这样的性质对一个待定数组进行剃重。原理很简单，只需要在插入的时候如果已经发现了相等的节点的话，那么则不进行插入即可。也就是说，只有该树没有的节点，我们才进行相应的插入操作。
三、BST的相关操作
1.建树（createTree）
BST的建立是基于一个数组进行的，本质上是把数组中的数按顺序插入的树中。可以想象，，每插入一个数，平均时间复杂度为O(logn)，所以建树的平均时间复杂度为O(nlogn)。
2.查找某一个值d（searchTree）
如果我们需要在BST上查找一个值d，那么我们需要从根节点开始，按照下面的思路进行递归查询：
（1）如果当前节点为空，则未找到，返回NULL。
（2）如果当前节点不为空，且当前节点的值等于d，那么则找到，返回当前节点。
（3）如果当前节点不为空，且当前节点的值大于d，那么则递归在左子树中寻找。
（4）如果当前节点不为空，且当前节点的值小于d，那么则递归在右子树中寻找。
可以想象，查找操作的平均时间复杂度为O(logn)
3.删除一个值d（deleteTree）
如果我们想要删除一个值d的节点，那么显然首先需要找到该节点。如果没有找到，则删除操作失败，如果找到，继续下面的操作即可：
（1）如果找到的节点的右子树为空，那么直接用该节点的左节点替换当前节点即可。
（2）如果找到的节点的右子树不为空，且右子树的左子树不为空，则递归找该右子树的左子树。
（3）如果找到的节点的右子树不为空，且右子树的左子树为空，则：
①如果找到的该节点的右节点为空，则返回当前节点，用这个节点去替换需要删除的点即可。
②如果找到的该节点的右子树不为空，则首先用该右子树替换找到的节点，在用找到的节点替换需要删除的节点即可。
显然，删除操作的平均时间复杂度为O(logn)
四、AVL平衡二叉查找树
1.什么是平衡二叉树。
平衡二叉树是一种二叉排序树，并且满足树中任意一个节点的左右子树的高度保持平衡。
2.什么是AVL。
AVL是一种二叉查找树，并且满足树中任意一个节点的左右子树的高度差的绝对值小于等于1，即保持平衡系数不大于1。AVL也称B-BST（Balanced - Binary Search Tree），而AVL的名称只是与这种数据结构的作者有关。
3.引例：为什么会产生AVL
我们为什么需要研究AVL，换句话说，为什么我们要重视BST的平衡性能呢？我们看下面的一个例子。
我们用1,2,3,4,5,6,7,8,9来进行建树。我们发现，这样建树的结果如下：
可以看出，这样二叉树实际上退化为了一个链表。在最坏的情况下，插入和删除的时间复杂度都退化为了O(n)。
很显然，树的平衡性越好，这种退化越不明显。所以为了保持BST的高效，我们研究AVL是必要的。
4.如何保持AVL的平衡？
既然要保持左右子树高度差小于等于1，那么我们一定需要在节点里面定义一个新的属性，用来记录该节点为根的树的高度。由于建树的过程是递归的，所以树的高度的更新也是递归完成的。通过更新高度，我们就可以知道什么时候左右子树的高度差大于1了，这个时候产生了失衡。一旦某一个节点开始失衡，那么这个时候必须通过旋转操作使二叉树达到一个新的平衡。
五、AVL的相关操作
1.旋转操作（rotateAvl）
如果在某一个时刻二叉树发生了失衡，我们就需要对二叉树进行相应的旋转使得二叉树重新达到平衡。这个旋转并不是随意的，我们还要保证BST的基本性质，那就是中序遍历必须有序才行。
我们总结二叉树失衡的原因，可以归纳为以下四种情况（其中圆形节点代表失衡有关的节点，方形节点代表子树）
归纳后发现，对于情况（1）（2），都是由于左子树高度大于右子树高度形成的失衡。对于情况（3）（4）则是相反的情况。且情况（1）（3）互为镜像，情况（2）（4）互为镜像。所以我们只以（1）（2）种情况作为例子，（3）（4）情况的道理同出一辙。
对于情况（1），左子树高度大于右子树高度，而在左子树中，依然是左子树高度大于右子树高度。对于这样的情况，我们需要以1为根进行右转（rightRotate），右转的结果是，2变为新的根，而1则成为2的右节点，2原本的右子树则成为了1的左子树，即，如下图：
对于情况（2），左子树高度大于右子树高度，而在左子树中，左子树高度小于右子树高度。对于这样的情况，我们需要首先需要以2（leftRotate）为根进行左转，左转的结果是3变为1的左子树，而2变为3的左子树，而3原本的左子树成了2的右子树。如下图所示：
之后就转化为了情况（1），故只需要在以1为根进行右转即可。
通过这样的旋转操作，AVL重新达到了平衡。
这个旋转操作的时间复杂度是O(1)的。
2.高度更新操作。
由于高度更新是递归进行的，所以我们选择回溯的阶段进行高度更新。而一个节点的高度应该是左子树高度和右子树高度的最大值再加1。
高度更新在整个AVL中是必要的，不管建树过程中，还是插入操作，或者是删除操作中，我们都需要时时刻刻对高度进行更新，只有正确的更新高度，才能判断二叉树是否失衡。而一旦失衡，我们就需要进行上述的旋转操作，这些是相辅相承的。
高度更新的时间复杂度也是O(1)的。
3.插入操作（insertAvl）
在插入操作中，由于插入的新节点，有可能使原本的二叉树产生了失衡，故应该进行相应的旋转操作。故，这样插入操作能稳定在平均O(logn) 的时间复杂度内。
4.删除操作（deleteAvl）
再删除操作中，由于删除了节点，也有可能是原本平衡的二叉树产生失衡，故也应该进行相应的旋转操作。故，这样删除操作能稳定在O(logn) 的时间复杂度内。
六、代码实现（C/C++）
1.对于节点数据类型的处理：
1 #define Elem int //这样Elem就是节点中数据的类型。
2.节点结构体的二叉链表
1 typedef struct LNode
2 {
3 Elem data; //节点数据域
4 int height; //节点为根的树的高度
5 struct LNode *left,*right; //左子树和右子树
6 struct LNode() //构造函数
7 {
8 height=0;
9 left=right=NULL;
10 }
11 }LNode,*avlTree;
12 //这样定义LNode是节点的类型，avlTree则是节点的指针类型。3.右旋转子操作，返回旋转之后的根节点指针
1 avlTree _rightRotate(avlTree &r)
2 {
3 int lh=0,rh=0;
4 avlTree t=r->left;
5 r->left=t->right;
6 if(r->left) lh=r->left->height;
7 if(r->right) rh=r->right->height;
8 r->height=max(lh,rh)+1;
9 t->right=r;
10 if(t->left==NULL) t->height=1;
11 else t->height=max(t->left->height,r->height)+1;
12 return t;
13 }4.左旋转子操作，返回旋转之后的根节点指针
1 avlTree _leftRotate(avlTree &r)
2 {
3 int lh=0,rh=0;
4 avlTree t=r->right;
5 r->right=t->left;
6 if(r->left) lh=r->left->height;
7 if(r->right) rh=r->right->height;
8 r->height=max(lh,rh)+1;
9 t->left=r;
10 if(t->right==NULL) t->height=1;
11 t->height=max(t->height,r->height)+1;
12 return t;
13 }5.旋转主算法（发生失衡，按照规则进行旋转操作）
1 void rotateAvl(avlTree &root)
2 {
3 int lh=0,rh=0;
4 if(root->left) lh=root->left->height;
5 if(root->right) rh=root->right->height;
6 root->height=max(lh,rh)+1;
7 if(abs(lh-rh)>1)
8 {
9 avlTree tp;
10 int lp=0,rp=0;
11 if(lh>rh) tp=root->left;
12 else tp=root->right;
13 if(tp->left!=NULL) lp=tp->left->height;
14 if(tp->right!=NULL) rp=tp->right->height;
15 if(lh>rh&&lp<rp) root->left=_leftRotate(tp);
16 if(lh<rh&&lp>rp) root->right=_rightRotate(tp);
17 if(lh>rh) root=_rightRotate(root);
18 else root=_leftRotate(root);
19 }
20 }6.插入操作，向二叉树r插入d。这里用sign标记表示是否进行剃重，如果sign为true则剃重，sign为false则表示可重复。
1 void insertAvl(avlTree &r,Elem d,bool sign)
2 {
3 //递归出口
4 if(r==NULL) {
5 r=new LNode();
6 r->data=d;
7 r->height++;
8 return;
9 }
10 if(d<=r->data)
11 {
12 if(d==r->data&&sign) return;
13 insertAvl(r->left,d,sign);
14 }
15 else
16 {
17 insertAvl(r->right,d,sign);
18 }
19 rotateAvl(r); //检验失衡并进行旋转
20 }7. 根据data数组建树。这里用sign标记表示是否进行剃重，如果sign为true则剃重，sign为false则表示可重复。
1 void createAvl(avlTree &root,Elem data[],int n,bool sign)
2 {
3 int i;
4 root=NULL;
5 for(i=0;i<n;i++)
6 {
7 insertAvl(root,data[i],sign);
8 }
9 }8.查询root里面的数据d所在节点，如果查询成功，则返回该节点。若d数据不存在，则查询失败，返回NULL。
1 avlTree searchAvl(avlTree root,Elem d)
2 {
3 if(root!=NULL)
4 {
5 if(d==root->data) return root;
6 else if(d<root->data) return searchAvl(root->left,d);
7 else searchAvl(root->right,d);
8 }
9 return NULL;
10 }9.在删除中寻找实际需要删除的点，返回实际点。
1 avlTree _delete(avlTree &root)
2 {
3 avlTree ret=root;
4 if(root->left) ret=_delete(root->left);
5 else if(root->right)
6 {
7 ret=root->right;
8 int t=root->data;
9 root->data=root->right->data;
10 ret->data=t;
11 root->height=1;
12 root->right=NULL;
13 return ret;
14 }
15 else
16 {
17 root=NULL;
18 return ret;
19 }
20 rotateAvl(root); //检验失衡并进行旋转
21 return ret;
22 }10.删除主操作算法，删除root上的data数据所在节点
1 void deleteAvl(avlTree &root,Elem data)
2 {
3 avlTree ret;
4 if(!root) return;
5 if(root->data!=data) //未找到该节点，首先寻找该节点
6 {
7 if(data<root->data) ret=root->left;
8 else ret=root->right;
9 deleteAvl(ret,data); //递归寻找
10 }
11 else //找到该节点
12 {
13 if(!root->right) //右子树为空
14 {
15 root=root->left;
16 }
17 else //右子树不为空
18 {
19 avlTree t=_delete(root->right); //寻找实际删除的节点
20 root->data=t->data;
21 free(t);
22 }
23 }
24 rotateAvl(root); //检验失衡并进行旋转
25 }于是我又找到了一份不错的模版总结，仅供参考！
Treap树
核心是 利用随机数的二叉排序树的各种操作复杂度平均为O(lgn)
Treap模板：
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <ctime>
4 #include <iostream>
5 #include <algorithm>
6 #include <cstdlib>
7 #include <cmath>
8 #include <utility>
9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
14 #define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
15 #define INF 0x3f3f3f3f
16 #define MAXN 100005
17
18 using namespace std;
19
20 int cnt=1,rt=0; //节点编号从1开始
21
22 struct Tree
23 {
24 int key, size, pri, son[2]; //保证父亲的pri大于儿子的pri
25 void set(int x, int y, int z)
26 {
27 key=x;
28 pri=y;
29 size=z;
30 son[0]=son[1]=0;
31 }
32 }T[MAXN];
33
34 void rotate(int p, int &x)
35 {
36 int y=T[x].son[!p];
37 T[x].size=T[x].size-T[y].size+T[T[y].son[p]].size;
38 T[x].son[!p]=T[y].son[p];
39 T[y].size=T[y].size-T[T[y].son[p]].size+T[x].size;
40 T[y].son[p]=x;
41 x=y;
42 }
43
44 void ins(int key, int &x)
45 {
46 if(x == 0)
47 T[x = cnt++].set(key, rand(), 1);
48 else
49 {
50 T[x].size++;
51 int p=key < T[x].key;
52 ins(key, T[x].son[!p]);
53 if(T[x].pri < T[T[x].son[!p]].pri)
54 rotate(p, x);
55 }
56 }
57
58 void del(int key, int &x) //删除值为key的节点
59 {
60 if(T[x].key == key)
61 {
62 if(T[x].son[0] && T[x].son[1])
63 {
64 int p=T[T[x].son[0]].pri > T[T[x].son[1]].pri;
65 rotate(p, x);
66 del(key, T[x].son[p]);
67 }
68 else
69 {
70 if(!T[x].son[0])
71 x=T[x].son[1];
72 else
73 x=T[x].son[0];
74 }
75 }
76 else
77 {
78 T[x].size--;
79 int p=T[x].key > key;
80 del(key, T[x].son[!p]);
81 }
82 }
83
84 int find(int p, int &x) //找出第p小的节点的编号
85 {
86 if(p == T[T[x].son[0]].size+1)
87 return x;
88 if(p > T[T[x].son[0]].size+1)
89 find(p-T[T[x].son[0]].size-1, T[x].son[1]);
90 else
91 find(p, T[x].son[0]);
92 }
93
94 int find_NoLarger(int key, int &x) //找出值小于等于key的节点个数
95 {
96 if(x == 0)
97 return 0;
98 if(T[x].key <= key)
99 return T[T[x].son[0]].size+1+find_NoLarger(key, T[x].son[1]);
100 else
101 return find_NoLarger(key, T[x].son[0]);
102 }View Code
相关题目：POJ 3481 1442 2352
Splay Tree（伸展树）
核心就是 过程Splay(x, y)，即将x节点转移到y节点的子节点上面（其中y是x的祖先）。
利用其中双旋的优势能够保证查询复杂度均摊为O(lgn)
一开始理解有些困难，其实实际上不做深入的理解就是，双旋的过程就是一个建立相对平衡的二叉树的一个过程。
》对于二叉树，最极端的情况就是线性插入，使得整棵二叉树退化为一条链。比如你查询链的最后一个节点，之后再次查询第一个节点。
1）若只是单旋通过Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点，需要O(n)复杂度，而查询第一个节点时又需要O(n)复杂度，来来往往就退化成一条链了。
2）若是双旋Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点上时，移动过程中建立起了相对平衡的二叉树，需要O(n)，也就是查询第一个节点时，大概是需要O(lgn)复杂度。这就降低了复杂度。可以证明，总的每个操作的均摊复杂度是O(lgn)。
具体证明可以参见 杨思雨《伸展树的基本操作与应用》
I 用于维护单调队列 ：（以key为维护对象保证单调）
常用版：（支持相同值）
1 Struct Tree{
2
3 int key, size, fa, son[2];
4
5 }
6
7 void PushUp(int x);
8
9 void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋
10
11 void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中
12
13 int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
14
15 int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处
16
17 int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处
18
19 void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处
20
21 void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处
22
23 int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处
24
25 int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为<模板：
1 int cnt=1, rt=0;
2
3 struct Tree
4 {
5 int key, size, fa, son[2];
6 void set(int _key, int _size, int _fa)
7 {
8 key=_key;
9 size=_size;
10 fa=_fa;
11 son[0]=son[1]=0;
12 }
13 }T[MAXN];
14
15 inline void PushUp(int x)
16 {
17 T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+1;
18 }
19
20 inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
21 {
22 int y=T[x].fa;
23 T[y].son[!p]=T[x].son[p];
24 T[T[x].son[p]].fa=y;
25 T[x].fa=T[y].fa;
26 if(T[x].fa)
27 T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[1] == y]=x;
28 T[x].son[p]=y;
29 T[y].fa=x;
30 PushUp(y);
31 PushUp(x);
32 }
33
34 void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中
35 {
36 while(T[x].fa != To)
37 {
38 if(T[T[x].fa].fa == To)
39 Rotate(x, T[T[x].fa].son[0] == x);
40 else
41 {
42 int y=T[x].fa, z=T[y].fa;
43 int p=(T[z].son[0] == y);
44 if(T[y].son[p] == x)
45 Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋
46 else
47 Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
48 }
49 }
50 if(To == 0) rt=x;
51 }
52
53 int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
54 {
55 int x=rt;
56 while(x && T[x].key != key)
57 x=T[x].son[key > T[x].key];
58 if(x) Splay(x, 0);
59 return x;
60 }
61
62 int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处
63 {
64 int x=T[rt].son[0];
65 if(!x) return 0;
66 while(T[x].son[1])
67 x=T[x].son[1];
68 Splay(x, 0);
69 return x;
70 }
71
72 int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处
73 {
74 int x=T[rt].son[1];
75 if(!x) return 0;
76 while(T[x].son[0])
77 x=T[x].son[0];
78 Splay(x, 0);
79 return x;
80 }
81
82 void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处
83 {
84 if(!rt)
85 T[rt = cnt++].set(key, 1, 0);
86 else
87 {
88 int x=rt, y=0;
89 while(x)
90 {
91 y=x;
92 x=T[x].son[key > T[x].key];
93 }
94 T[x = cnt++].set(key, 1, y);
95 T[y].son[key > T[y].key]=x;
96 Splay(x, 0);
97 }
98 }
99
100 void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处
101 {
102 int x=find(key);
103 if(!x) return;
104 int y=T[x].son[0];
105 while(T[y].son[1])
106 y=T[y].son[1];
107 int z=T[x].son[1];
108 while(T[z].son[0])
109 z=T[z].son[0];
110 if(!y && !z)
111 {
112 rt=0;
113 return;
114 }
115 if(!y)
116 {
117 Splay(z, 0);
118 T[z].son[0]=0;
119 PushUp(z);
120 return;
121 }
122 if(!z)
123 {
124 Splay(y, 0);
125 T[y].son[1]=0;
126 PushUp(y);
127 return;
128 }
129 Splay(y, 0);
130 Splay(z, y);
131 T[z].son[0]=0;
132 PushUp(z);
133 PushUp(y);
134 }
135
136 int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处
137 {
138 if(!rt) return 0;
139 int x=rt, ret=0;
140 while(x)
141 {
142 if(p == T[T[x].son[0]].size+1)
143 break;
144 if(p>T[T[x].son[0]].size+1)
145 {
146 p-=T[T[x].son[0]].size+1;
147 x=T[x].son[1];
148 }
149 else
150 x=T[x].son[0];
151 }
152 Splay(x, 0);
153 return x;
154 }
155
156 int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为<
157 {
158 if(!rt) return 0;
159 int x=rt, ret=0, y;
160 while(x)
161 {
162 y=x;
163 if(T[x].key <= key)
164 {
165 ret+=T[T[x].son[0]].size+1;
166 x=T[x].son[1];
167 }
168 else
169 x=T[x].son[0];
170 }
171 Splay(y, 0);
172 return ret;
173 }View Code
完全版：（支持相同值，支持区间删除，支持懒惰标记）
1 Struct Tree{
2
3 int key, num, size, fa, son[2];
4
5 }
6
7 void PushUp(int x);
8
9 void PushDown(int x);
10
11 int Newnode(int key, int fa); //新建一个节点并返回
12
13 void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋
14
15 void Splay(int x, int To); //将x节点移动到To的子节点中
16
17 int GetPth(int p, int To); //返回第p小的节点 并移动到To的子节点中
18
19 int Find(int key); //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
20
21 int Prev(); //返回根节点的前驱
22
23 int Succ(); //返回根结点的后继
24
25 void Insert(int key); //插入key值
26
27 void Delete(int key); //删除值为key的节点
28
29 int GetRank(int key); //获得值<=key的节点个数
30
31 void Delete(int l, int r); //删除值在[l, r]中的节点 模板：
1 int cnt, rt;
2 int Add[MAXN];
3
4 struct Tree{
5 int key, num, size, fa, son[2];
6 }T[MAXN];
7
8 inline void PushUp(int x)
9 {
10 T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+T[x].num;
11 }
12
13 inline void PushDown(int x)
14 {
15 if(Add[x])
16 {
17 if(T[x].son[0])
18 {
19 T[T[x].son[0]].key+=Add[x];
20 Add[T[x].son[0]]+=Add[x];
21 }
22 if(T[x].son[1])
23 {
24 T[T[x].son[1]].key+=Add[x];
25 Add[T[x].son[1]]+=Add[x];
26 }
27 Add[x]=0;
28 }
29 }
30
31 inline int Newnode(int key, int fa) //新建一个节点并返回
32 {
33 ++cnt;
34 T[cnt].key=key;
35 T[cnt].num=T[cnt].size=1;
36 T[cnt].fa=fa;
37 T[cnt].son[0]=T[cnt].son[1]=0;
38 return cnt;
39 }
40
41 inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
42 {
43 int y=T[x].fa;
44 PushDown(y);
45 PushDown(x);
46 T[y].son[!p]=T[x].son[p];
47 T[T[x].son[p]].fa=y;
48 T[x].fa=T[y].fa;
49 if(T[x].fa)
50 T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[1] == y]=x;
51 T[x].son[p]=y;
52 T[y].fa=x;
53 PushUp(y);
54 PushUp(x);
55 }
56
57 void Splay(int x, int To) //将x节点移动到To的子节点中
58 {
59 while(T[x].fa != To)
60 {
61 if(T[T[x].fa].fa == To)
62 Rotate(x, T[T[x].fa].son[0] == x);
63 else
64 {
65 int y=T[x].fa, z=T[y].fa;
66 int p=(T[z].son[0] == y);
67 if(T[y].son[p] == x)
68 Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋
69 else
70 Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
71 }
72 }
73 if(To == 0) rt=x;
74 }
75
76 int GetPth(int p, int To) //返回第p小的节点 并移动到To的子节点中
77 {
78 if(!rt || p > T[rt].size) return 0;
79 int x=rt;
80 while(x)
81 {
82 PushDown(x);
83 if(p >= T[T[x].son[0]].size+1 && p <= T[T[x].son[0]].size+T[x].num)
84 break;
85 if(p > T[T[x].son[0]].size+T[x].num)
86 {
87 p-=T[T[x].son[0]].size+T[x].num;
88 x=T[x].son[1];
89 }
90 else
91 x=T[x].son[0];
92 }
93 Splay(x, 0);
94 return x;
95 }
96
97 int Find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
98 {
99 if(!rt) return 0;
100 int x=rt;
101 while(x)
102 {
103 PushDown(x);
104 if(T[x].key == key) break;
105 x=T[x].son[key > T[x].key];
106 }
107 if(x) Splay(x, 0);
108 return x;
109 }
110
111 int Prev() //返回根节点的前驱 非重点
112 {
113 if(!rt || !T[rt].son[0]) return 0;
114 int x=T[rt].son[0];
115 while(T[x].son[1])
116 {
117 PushDown(x);
118 x=T[x].son[1];
119 }
120 Splay(x, 0);
121 return x;
122 }
123
124 int Succ() //返回根结点的后继 非重点
125 {
126 if(!rt || !T[rt].son[1]) return 0;
127 int x=T[rt].son[1];
128 while(T[x].son[0])
129 {
130 PushDown(x);
131 x=T[x].son[0];
132 }
133 Splay(x, 0);
134 return x;
135 }
136
137 void Insert(int key) //插入key值
138 {
139 if(!rt)
140 rt=Newnode(key, 0);
141 else
142 {
143 int x=rt, y=0;
144 while(x)
145 {
146 PushDown(x);
147 y=x;
148 if(T[x].key == key)
149 {
150 T[x].num++;
151 T[x].size++;
152 break;
153 }
154 T[x].size++;
155 x=T[x].son[key > T[x].key];
156 }
157 if(!x)
158 x=T[y].son[key > T[y].key]=Newnode(key, y);
159 Splay(x, 0);
160 }
161 }
162
163 void Delete(int key) //删除值为key的节点1个
164 {
165 int x=Find(key);
166 if(!x) return;
167 if(T[x].num>1)
168 {
169 T[x].num--;
170 PushUp(x);
171 return;
172 }
173 int y=T[x].son[0];
174 while(T[y].son[1])
175 y=T[y].son[1];
176 int z=T[x].son[1];
177 while(T[z].son[0])
178 z=T[z].son[0];
179 if(!y && !z)
180 {
181 rt=0;
182 return;
183 }
184 if(!y)
185 {
186 Splay(z, 0);
187 T[z].son[0]=0;
188 PushUp(z);
189 return;
190 }
191 if(!z)
192 {
193 Splay(y, 0);
194 T[y].son[1]=0;
195 PushUp(y);
196 return;
197 }
198 Splay(y, 0);
199 Splay(z, y);
200 T[z].son[0]=0;
201 PushUp(z);
202 PushUp(y);
203 }
204
205 int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数
206 {
207 if(!Find(key))
208 {
209 Insert(key);
210 int tmp=T[T[rt].son[0]].size;
211 Delete(key);
212 return tmp;
213 }
214 else
215 return T[T[rt].son[0]].size+T[rt].num;
216 }
217
218 void Delete(int l, int r) //删除值在[l, r]中的所有节点 l!=r
219 {
220 if(!Find(l)) Insert(l);
221 int p=Prev();
222 if(!Find(r)) Insert(r);
223 int q=Succ();
224 if(!p && !q)
225 {
226 rt=0;
227 return;
228 }
229 if(!p)
230 {
231 T[rt].son[0]=0;
232 PushUp(rt);
233 return;
234 }
235 if(!q)
236 {
237 Splay(p, 0);
238 T[rt].son[1]=0;
239 PushUp(rt);
240 return;
241 }
242 Splay(p, q);
243 T[p].son[1]=0;
244 PushUp(p);
245 PushUp(q);
246 }View Code
相关题目：HNOI 2002 POJ3481 POJ2352 POJ1442
NOI2004 郁闷的出纳员
II 用于维护序列： （以序列下标为对象维护，相当于对区间操作）（能够完成线段树的操作及其不能完成的操作）
1 Struct Tree{
2
3 int key, sum, size, fa, son[2];
4
5 }
6
7 支持操作：
8
9 void PushUp(int x);
10
11 void PushDown(int x);
12
13 int MakeTree(int l, int r, int a[]); //新建一个子树返回根节点
14
15 void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋
16
17 void Splay(int x, int To); //将x节点移动到To的子节点中
18
19 int Select(int p, int To); //将第p个数移动到To的子节点中 并返回该节点
20
21 int Find(int key); //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
22
23 int Prev(); //返回根节点的前驱
24
25 int Succ(); //返回根结点的后继
26
27 void Insert(int p, int l, int r, int a[]) //将a[l .. r]的数插入到下标为p后面
28
29 void Delete(int l, int r); //删除区间[l, r]中的节点
30
31 int Query(int l, int r); //返回[l, r]的和
32
33 待补充。。
34
35 Size Balance Tree
36
37 和上述两种二叉树比起来，SBT可能是最像真正平衡二叉树吧。
38
39 SBT能够保证树的高度在lgn，这样对于插入，删除操作都能够准确保证时间复杂度在O(lgn)
40
41 Maintain操作事实上理解起来也是挺简单的，至于证明参见CQF神牛的 《SBT》 模版：
1 int cnt, rt;
2
3 struct Tree
4 {
5 int key, size, son[2];
6 }T[MAXN];
7
8 inline void PushUp(int x)
9 {
10 T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+1;
11 }
12
13 inline int Newnode(int key)
14 {
15 ++cnt;
16 T[cnt].key=key;
17 T[cnt].size=1;
18 T[cnt].son[0]=T[cnt].son[1]=0;
19 return cnt;
20 }
21
22 void Rotate(int p, int &x)
23 {
24 int y=T[x].son[!p];
25 T[x].son[!p]=T[y].son[p];
26 T[y].son[p]=x;
27 PushUp(x);
28 PushUp(y);
29 x=y;
30 }
31
32 void Maintain(int &x, int p) //维护SBT的!p子树
33 {
34 if(T[T[T[x].son[p]].son[p]].size > T[T[x].son[!p]].size)
35 Rotate(!p, x);
36 else if(T[T[T[x].son[p]].son[!p]].size > T[T[x].son[!p]].size)
37 Rotate(p, T[x].son[p]), Rotate(!p, x);
38 else return;
39 Maintain(T[x].son[0], 0);
40 Maintain(T[x].son[1], 1);
41 Maintain(x, 0);
42 Maintain(x, 1);
43 }
44
45 inline int Prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0
46 {
47 int x=T[rt].son[0];
48 if(!x) return 0;
49 while(T[x].son[1])
50 x=T[x].son[1];
51 return x;
52 }
53
54 inline int Succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0
55 {
56 int x=T[rt].son[1];
57 if(!x) return 0;
58 while(T[x].son[0])
59 x=T[x].son[0];
60 return x;
61 }
62
63 void Insert(int key, int &x)
64 {
65 if(!x) x=Newnode(key);
66 else
67 {
68 T[x].size++;
69 Insert(key, T[x].son[key > T[x].key]);
70 Maintain(x, key > T[x].key);
71 }
72 }
73
74 bool Delete(int key, int &x) //删除值为key的节点 key可以不存在
75 {
76 if(!x) return 0;
77 if(T[x].key == key)
78 {
79 if(!T[x].son[0])
80 {
81 x=T[x].son[1];
82 return 1;
83 }
84 if(!T[x].son[1])
85 {
86 x=T[x].son[0];
87 return 1;
88 }
89 int y=Prev();
90 T[x].size--;
91 return Delete(T[x].key, T[x].son[0]);
92 }
93 else
94 if(Delete(key, T[x].son[key > T[x].key]))
95 {
96 T[x].size--;
97 return 1;
98 }
99 }
100
101 int GetPth(int p, int &x) //返回第p小的节点
102 {
103 if(!x) return 0;
104 if(p == T[T[x].son[0]].size+1)
105 return x;
106 if(p > T[T[x].son[0]].size+1)
107 return GetPth(p-T[T[x].son[0]].size-1, T[x].son[1]);
108 else
109 return GetPth(p, T[x].son[0]);
110 }
111
112 int GetRank(int key, int &x) //找出值<=key的节点个数
113 {
114 if(!x) return 0;
115 if(T[x].key <= key)
116 return T[T[x].son[0]].size+1+GetRank(key, T[x].son[1]);
117 else
118 return GetRank(key, T[x].son[0]);
119 }View Code
相关题目：POJ 3481
上述题均为用于测试平衡树基本操作的题目。
提高题：
在文章的最后贴上一个二叉树专题训练https://vjudge.net/contest/84416;jsessionid=E73DCD38F70FF141A029A2DB5958B2F1
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