网络流的相关定义:
通常可以把这些边想象成道路,流量就是这条道路的车流量,容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的,流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说,可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站,所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。
求解思路: 首先,假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量),那么就把这一组流量,或者说,这个流,称为一个可行流。 一个最简单的例子就是,零流,即所有的流量都是0的流。
补充:
相关问题: 为什么要增加反向边? 在做增广路时可能会阻塞后面的增广路,或者说,做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。 但我们是任意找的,为了修正,就每次将流量加在了反向弧上,让后面的流能够进行自我调整。
举例: 比如说下面这个网络流模型
我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路,这条路上的delta值显然是1。 于是我们修改后得到了下面这个流。(图中的数字是容量)
这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了,我们再也找不到其他的增广路了,当前的流量是1。 但是, 这个答案明显不是最大流,因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4,这样可以得到流量为2的流。
那么我们刚刚的算法问题在哪里呢? 问题就在于我们没有给程序一个“后悔”的机会,应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。 那么如何解决这个问题呢? 我们利用一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i),反向边也同样有它的容量。 我们直接来看它是如何解决的: 在第一次找到增广路之后,在把路上每一段的容量减少delta的同时,也把每一段上的反方向的容量增加delta。 c[x,y]-=delta; c[y,x]+=delta; 我们来看刚才的例子,在找到1-2-3-4这条增广路之后,把容量修改成如下:
这时再找增广路的时候,就会找到1-3-2-4这条可增广量,即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后,得到了最大流2。
那么,这么做为什么会是对的呢? 事实上,当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候,就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去,不走2-3这条路,而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。 如果这里没有2-4怎么办? 这时假如没有2-4这条路的话,最终这条增广路也不会存在,因为他根本不能走到汇点 同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1,反向流量1,等于没有流。 附录:(edmonds-Karp版本) 1: void update_residual_network(int u,int flow){ 2: while(pre[u]!=-1){ 3: map[pre[u]][u]-=flow; 4: map[u][pre[u]]+=flow; 5: u=pre[u]; 6: } 7: } 8: int find_path_bfs(int s,int t){ 9: memset(visited,0,sizeof(visited)); 10: memset(pre,-1,sizeof(pre)); 11: visited[s]=1; 12: int min=INF; 13: queue<int> q; 14: q.push(s); 15: 16: while(!q.empty()){ 17: int cur=q.front();q.pop(); 18: if(cur==t) break; 19: 20: for(int i = 1 ; i <= m ; i++ ){ 21: if( visited[i] == 0 && map[cur][i] != 0){ 22: q.push(i); 23: min=(min<map[cur][i]?min:map[cur][i]) ; 24: pre[i]=cur; 25: visited[i]=1; 26: } 27: } 28: } 29: if(pre[t]==-1) return 0; 30: 31: return min; 32: } 33: int edmonds_karp(int s,int t){ 34: int new_flow=0; 35: int max_flow=0; 36: do{ 37: new_flow = find_path_bfs(s,t); 38: update_residual_network(t,new_flow); 39: max_flow += new_flow; 40: }while( new_flow != 0 ); 41: return max_flow; 42: }