裴蜀定理(贝祖定理)及证明

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

　　ax + by = m

　　有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

　　例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

　　特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

　　裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

证明：

(1)若b=0,则(a,b)=a.这时定理显然成立。

　　(2)若a,b不等于0.

　　∵(a,b)=(a,-b)∴不妨设a,b都大于零，a>=b,(a,b)=d

　　对ax+by=d，两边同时除以d，可得(a1)x+(b1)y=1，其中(a1,b1)=1。

　　转证(a1)x+(b1)y=1。由带余除法：

　　a1=(q1)b+(r1),其中0=<r1<b1

　　b1=(q2)(r1)+(r2),其中0=<r2<r1

　　(r1)=(q3)(r2)+(r3),其中0=<r3<r2

　　.....

　　(rn-3)=(qn-1)(rn-2)+(rn-1)

　　(rn-2)=(qn)(rn-1)+(rn)

　　(rn-1)=(qn+1)(rn)

　　于是，有(a1,b1)=(b1,r1)=(r1,r2)=...=(rn-1,rn)=1

　　故

　　(rn-2)=(xn)(rn-1)+1

　　即1=(rn-2)-(xn)(rn-1)

　　由倒数第三个式子（rn-1）=(rn-3)-(xn-1)(rn-2)代入上式，得

　　1=[1+(xn)(xn-1)](rn-2)-(xn)(rn-3)

　　然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去(rn-2),...(r1),

　　可证得1=(a1)x+(b1)y。

推广：

以上定理可推广到n个，n≥2

　　如1st IMO 1959第1题：证明对任意自然数n，(21n+4)/(14n+3)为既约分数。证明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.

　　另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数