科个普啦--条件概率

条件概率的意思是在某种条件下某件事发生的概率是多少。条件概率其实反应了一个朴素的概念，你平时在推理不确定的事情时，下意识的需要去找和事情有关的证据，因为证据越多你对不确定的事情的推理就越有信心。

举个例子，某个城市发生了交通造事逃逸，假设这个城市只有两种车，15%是蓝车，85%绿车。假设你是交警，请判断撞人的是蓝车还是绿车？

如果没有任何证人的情况下，我们只能盲猜，所以被蓝车撞的可能性是15%，被绿车撞是85%。

这时突然跳出一个证人说，他看到的是蓝车，但是他不太确定，只有8成（80%）把握（假设他的八成把握已经过了真理的验证）。

请问此时的蓝车还是驴车的概率是多少呢？

这里要开始飙数学了啊，别吓到哈。

说明一些数学标记。

• 设证据为E，蓝车为B，绿车为G，"~"表示非，如~B表示非蓝则~B=G，同理~G=B
• P(蓝车)=P(B)=P(~G)=0.15，P(绿车)=P(G)=0.85
• P(其实是蓝色的情况下，证人说是蓝色)=P(E|B)
• P(其实是绿车的情况下，证人说是蓝色)=P(E|G)

这时，有两种情况

1. 撞人的是蓝车，证人说是蓝车。则P(蓝车且证人说是蓝车)=P(E,B)=P(B) x P(E|B)=0.15x0.8=0.12
2. 撞人的是绿车，证人说是蓝车。则P(绿车且证人说是蓝车)=P(E,~B)=P(~B)xP(E|~B)=P(~B) x（1 - P(~E|~B))=0.85x(1-0.8)=0.17

则P(E)=P(E,B)+P(E,~B)=0.12+0.17=0.29

所以呢，在有证人的情况下，车为蓝色的概率为P(B|E)=P(E,B)/P(E)=0.12/0.29=0.41=41%

原本在我们瞎猜的情况下，我们的认为是蓝车的概率15%，但是一旦了新的证据出现，则在这个证据下的概率增强到41%。若又出来第二个人说也是蓝车，可以计算得知此时的概率为73%。

所以说，条件概率从数学的角度证明了我们对于不确定的事，为什么总要去找更多的证据的原因哈。